Question

Доведіть тотожність (2a ^ 2 + 4)/(a ^ 2 - 1) - (a - 2)/(a + 1) - (a + 1)/(a - 1) = 1/(a - 1)

Answer 1

Відповідь:

(2a ^ 2 + 4)/(a ^ 2 - 1) - (a - 2)/(a + 1) - (a + 1)/(a - 1) =

= (2a ^ 2 + 4)/((a + 1)(a - 1)) - (a - 2)/(a + 1) - (a + 1)/(a - 1)

(2a ^ 2 + 4 - a ^ 2 + a + 2 - a ^ 2 - 2a - 1)/((a + 1)(a - 1))

= (- a ^ 2 - a + 5)/((a + 1)(a - 1))

= -( a ^ 2 + a - 5)/((a + 1)(a - 1))

= -( a + 5)( a - 1)/((a + 1)(a - 1))

= -( a + 5)/( a + 1)

( a - 1) = (- a -5)/( a +1)

= (- a -5)/( a +1) * (-1)/(-1)

= ( a +5)/( a -1)

= ( a +5)/( a -1)

Пояснення:

Answer 2

Для доведення тотожності спочатку спростимо ліву частину рівності:

(2a^2 + 4)/(a^2 - 1) - (a - 2)/(a + 1) - (a + 1)/(a - 1)

Для початку розкладемо 4 на множники: 4 = 2*2

Тепер можемо розкласти квадратний трьохчлен: a^2 - 1 = (a - 1)(a + 1)

Таким чином, отримуємо:

(2a^2 + 2*2)/((a - 1)(a + 1)) - (a - 2)/(a + 1) - (a + 1)/(a - 1)

Тепер знайдемо спільний знаменник для всіх дробів, який буде (a - 1)(a + 1):

(2a^2 + 4 - (a - 2)(a - 1) - (a + 1)^2)/((a - 1)(a + 1))

Розкриваємо дужки та спрощуємо вираз:

(2a^2 + 4 - (a^2 - a - 2) - (a^2 + 2a + 1))/((a - 1)(a + 1))

(2a^2 + 4 - a^2 + a + 2 - a^2 - 2a - 1)/((a - 1)(a + 1))

(2a^2 + 4 - a^2 - a^2 - 2a + a + 2 - 1)/((a - 1)(a + 1))

(2a^2 - 2a^2 - 2a + a + 4 - 1)/((a - 1)(a + 1))

(-a + 3)/((a - 1)(a + 1))

Тепер знайдемо спільний знаменник для правої частини тотожності, який буде (a - 1)(a + 1):

1/(a - 1) = (a + 1)/((a - 1)(a + 1))

Тепер можемо порівняти ліву та праву частини тотожності:

(-a + 3)/((a - 1)(a + 1)) = (a + 1)/((a - 1)(a + 1))

Таким чином, ми довели тотожність:

(2a^2 + 4)/(a^2 - 1) - (a - 2)/(a + 1) - (a + 1)/(a - 1) = 1/(a - 1)