Question

Решить неравенство: f ' (x) > 0, если f(x) = 9х3 + 3х2

Answer 1

$f(x) = 9x^{3} + 3x^{2}$

$f'(x) = 9 \cdot 3x^{2} + 3 \cdot 2x = 27x^{2} + 6x$

Решим неравенство $f'(x) > 0$, то есть $27x^{2} + 6x > 0$

$27x^{2} + 6x > 0$

$3x(9x + 2) > 0$

$\left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \left \{ {{3x > 0, \ \ \ \ \, } \atop {9x + 2 > 0}} \right. \\\displaystyle \left \{ {{3x < 0, \ \ \ \ \, } \atop {9x + 2 < 0}} \right.\\\end{array}\right \ \ \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}\displaystyle \left \{ {{x > 0, \ \ \, } \atop {x > -\dfrac{2}{9} }} \right. \\\displaystyle \left \{ {{x < 0, \ \ \, } \atop {x < -\dfrac{2}{9}}} \right.\\\end{array}\right \ \ \ \ \ \left[\begin{array}{ccc}x > 0, \ \ \\x < -\dfrac{2}{9} \\\end{array}\right$

$x \in \left(-\infty; \ -\dfrac{2}{9} \right) \cup (0; \ +\infty)$

Ответ: $x \in \left(-\infty; \ -\dfrac{2}{9} \right) \cup (0; \ +\infty)$

Answer 2

Для решения данного неравенства f(x) > 0, где f(x) = 9x^3 + 3x^2, нужно найти значения x, при которых f(x) больше нуля.

Сначала найдем корни уравнения f(x) = 9x^3 + 3x^2 = 0. Для этого можно вынести общий множитель x^2: f(x) = x^2(9x + 3) = 0. Таким образом, корни уравнения: x = 0 и x = -1/3.

Теперь построим знаки функции f(x) на числовой прямой, используя найденные корни. Для этого выберем тестовую точку в каждом из трех интервалов: x < -1/3, -1/3 < x < 0, x > 0. Подставим эти значения в f(x) и определим знак.

1. При x < -1/3: f(x) < 0 2. При -1/3 < x < 0: f(x) > 0 3. При x > 0: f(x) > 0

Таким образом, неравенство f(x) > 0 выполняется для x из интервала (-1/3, 0) и для x из интервала (0, +∞). Получается, что решением неравенства является множество значений x, таких что -1/3 < x < 0 и x > 0.