Question

ПЖ ПОМОГИТЕ ДАМ 20 БАЛОВ!!!!!!!!!!!!! Доведіть, що число 3 ∙ 81^4 + 27^5 - 3 ∙ 27^4 кратне 89

Answer 1

81 = 3^4

27 = 3^3

(a^m)^n = a^(mn)

a^m*a^n = a^(m+n)

3 ∙ 81^4 + 27^5 - 3 ∙ 27^4 = 3*(3^4)^4 + (3^3)^5 - 3^(3^3)^4 = 3*3^16 + 3^15 - 3*3^12 = 3^17 + 3^15 - 3^13 = 3^13*(3^4 + 3^2 - 1) = 3^13*(81 + 9 - 1) = 89*3^13

еси один из множителей кратен 89, то и произведение кратно 89

Answer 2

Для того чтобы доказать, что число 3 * 81^4 + 27^5 - 3 * 27^4 кратно 89, мы можем воспользоваться теорией остатков и модульной арифметикой.

Для начала, заметим, что число 3 * 81^4 + 27^5 - 3 * 27^4 можно записать в виде:

3 * (81^4 - 27^4) + 27^5

Затем, воспользуемся тождеством разности квадратов:

a^2 - b^2 = (a - b) * (a + b)

Применим это тождество к выражению (81^2)^2 - (27^2)^2:

(81^2)^2 - (27^2)^2 = (81^2 - 27^2) * (81^2 + 27^2)

Упростим это выражение:

(81^2 - 27^2) * (81^2 + 27^2) = 54 * (6561 + 729) = 54 * 7290

Далее, заметим, что 54 * 7290 = 54 * (89 * 81) = 54 * 89 * 81

Таким образом, мы получаем, что число 3 * (81^4 - 27^4) + 27^5 равно 54 * 89 * 81.

Теперь рассмотрим это выражение по модулю 89:

(54 * 89 * 81) mod 89 = (54 mod 89 * 89 mod 89 * 81 mod 89) mod 89

54 mod 89 = 54 89 mod 89 = 0 81 mod 89 = 81

Таким образом, выражение (54 * 89 * 81) mod 89 равно (54 * 0 * 81) mod 89, что равно 0.

Итак, мы доказали, что число 3 * 81^4 + 27^5 - 3 * 27^4 кратно 89.