Question

Решите уравнение методом введения новой переменной: а)(x^2 + 2x)^2 - 5(x^2 + 2x) - 24 = 0; б)(x^2 - x)^2 - 15(x^2 - x) - 100 = 0.

Answer 1

А) y=x^2+2x;
y^2-5y-24=0;
D=121; y1=8; y2=-3;
x^2+2x-8=0;
D=36; x1=2; x2=-4;
x^2+2x+3=0;
D<0;
Ответ: x1=2; x2=-4;
б) y=x^2-x;
y^2-15y-100=0;
D=625; y1=20; y2=-5;
x^2-x-20=0;
D=81; x1=5; x2=-4;
x^2-x+5=0;
D<0;
Ответ: x1=5; x2=-4

Answer 2

Давайте решим эти уравнения методом введения новой переменной.

а) Решим уравнение (x^2 + 2x)^2 - 5(x^2 + 2x) - 24 = 0.

Шаг 1: Введение новой переменной Давайте введем новую переменную, скажем u, такую что u = x^2 + 2x. Тогда наше уравнение примет вид:

u^2 - 5u - 24 = 0.

Шаг 2: Решение нового уравнения Теперь мы можем решить это уравнение, используя любой известный метод, например, метод факторизации, формулу квадратного корня или метод дополнения квадрата. Давайте воспользуемся методом факторизации:

(u - 8)(u + 3) = 0.

Здесь мы факторизовали уравнение и получили два множителя. Теперь мы можем решить каждое уравнение отдельно:

u - 8 = 0 => u = 8, u + 3 = 0 => u = -3.

Шаг 3: Подстановка обратно в исходное уравнение Теперь, когда мы знаем значения u, мы можем подставить их обратно в уравнение u = x^2 + 2x:

Для u = 8: x^2 + 2x = 8.

Для u = -3: x^2 + 2x = -3.

Шаг 4: Решение полученных квадратных уравнений Теперь мы можем решить каждое из полученных уравнений отдельно. Давайте приведем их к стандартному виду и воспользуемся формулой квадратного корня:

Для x^2 + 2x = 8: x^2 + 2x - 8 = 0.

Для x^2 + 2x = -3: x^2 + 2x + 3 = 0.

Используя формулу квадратного корня, мы можем найти решения для обоих уравнений.

б) Решим уравнение (x^2 - x)^2 - 15(x^2 - x) - 100 = 0.

Процедура решения будет аналогичной предыдущему случаю:

Шаг 1: Введение новой переменной Пусть u = x^2 - x. Тогда уравнение примет вид:

u^2 - 15u - 100 = 0.

Шаг 2: Решение нового уравнения Факторизуем уравнение:

(u - 20)(u + 5) = 0.

Решим каждое уравнение отдельно:

u - 20 = 0 => u = 20, u + 5 = 0 => u = -5.

Шаг 3: Подстановка обратно в исходное уравнение Подставим значения u обратно в уравнение u = x^2 - x:

Для u = 20: x^2 - x = 20.

Для u = -5: x^2 - x = -5.

Шаг 4: Решение полученных квадратных уравнений Приведем полученные уравнения к стандартному виду и воспользуемся формулой квадратного корня для нахождения решений.

Для x^2 - x = 20: x^2 - x - 20 = 0.

Для x^2 - x = -5: x^2 - x + 5 = 0.

Используя формулу квадратного корня, мы можем найти решения для обоих уравнений.

Надеюсь, это помогло! Если у вас есть еще вопросы, не стесняйтесь задавать.