Question

Как исследовать данную функцию на монотонность с помощью производной?. Способ нахождения экстремума.

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Найдем прозводную функции f(x):

$f'(x)=(\sqrt{x-4}+7)'=\frac{1}{2\sqrt{x-4}}$

найдем нули производной

$> </p><p>так как мы не можем определить нули производной, значит функция не имеет стационарных точек. Подставив любое значение из области определения функции( D(y): x є (4 ; ∞) ) мы увидим что <img src=$,  а это сведетельствует что она монотонно возростает на всем промежутке на котором определена

Answer 2

Исследование функции на монотонность с помощью производной

Для исследования функции на монотонность с помощью производной, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. 2. Решить уравнение производной на равенство нулю, чтобы найти критические точки функции. 3. Построить таблицу знаков производной и определить интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. 4. Используя полученную информацию о знаках производной, определить монотонность функции на каждом из интервалов.

Способ нахождения экстремума

Для нахождения экстремума функции с помощью производной, нужно выполнить следующие шаги:

1. Найти производную функции. 2. Решить уравнение производной на равенство нулю, чтобы найти критические точки функции. 3. Построить таблицу знаков производной и определить интервалы, на которых производная меняет знак. 4. Используя полученную информацию о знаках производной, определить тип экстремума (максимум или минимум) в каждой из критических точек.

Пример:

Допустим, у нас есть функция f(x), и мы хотим исследовать ее на монотонность и найти экстремумы с помощью производной.

1. Найдем производную функции f'(x). 2. Решим уравнение f'(x) = 0, чтобы найти критические точки функции. 3. Построим таблицу знаков производной f'(x) и определим интервалы, на которых производная положительна или отрицательна. 4. Используя информацию о знаках производной, определим монотонность функции на каждом из интервалов и найдем экстремумы.

Например, если производная f'(x) положительна на интервале (a, b), то функция f(x) возрастает на этом интервале. Если производная f'(x) отрицательна на интервале (c, d), то функция f(x) убывает на этом интервале. Критические точки, где производная равна нулю, могут быть точками экстремума.

Примечание: При исследовании функции на монотонность и поиске экстремумов с помощью производной, необходимо учитывать, что производная может быть равна нулю не только в точках экстремума, но и в точках перегиба функции. Поэтому, после нахождения критических точек, необходимо провести дополнительные исследования для определения типа точки (экстремум или перегиб).

Пример кода в Wolfram Mathematica:

f[x_] := x^2 - 3x + 2;
f'[x]
Solve[f'[x] == 0, x]

В данном примере мы определяем функцию f(x) и находим ее производную f'(x) с помощью оператора `f'[x]`. Затем мы решаем уравнение `f'[x] == 0` с помощью функции `Solve`, чтобы найти критические точки функции.

Примечание: При использовании производной для исследования функции на монотонность и нахождения экстремумов, необходимо учитывать, что это лишь один из методов исследования, и в некоторых случаях может потребоваться применение других методов, таких как вторая производная или анализ графика функции.