Question

8. Найдите промежутки монотонности и точки экстремума функ- ции f(x) = x — 6x? — 15х +7.9. Найдите точки экстремума и определите экстремумы функцииf(x) = 1, 28 x10. Исследуйте на монотонность и экстремумы функциюf(x) = x? (х – 6).pa-c):5; b)Зна-​

Answer 1

Давайте начнем с исследования функции f(x) = x^3 - 6x^2 - 15x + 7.9:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 3x^2 - 12x - 15.

2. Теперь найдем критические точки, где производная равна нулю: 3x^2 - 12x - 15 = 0.

   Мы можем разделить это уравнение на 3, чтобы упростить его: x^2 - 4x - 5 = 0.

   Теперь решим это квадратное уравнение: (x - 5)(x + 1) = 0.

   Из этого уравнения получаем два корня: x = 5 и x = -1.

3. Теперь мы имеем критические точки x = 5 и x = -1. Для определения их типа (максимум или минимум) можно использовать вторую производную тест.

4. Найдем вторую производную: f''(x) = 6x - 12.

5. Подставим найденные критические точки во вторую производную: f''(5) = 6 * 5 - 12 = 30 - 12 = 18 (положительное значение), f''(-1) = 6 * (-1) - 12 = -6 - 12 = -18 (отрицательное значение).

Итак, у нас есть:

• При x = 5, f''(x) > 0, что означает, что это точка минимума.
• При x = -1, f''(x) < 0, что означает, что это точка максимума.

Теперь давайте определим интервалы монотонности:

• Для x < -1, f''(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.
• Для -1 < x < 5, f''(x) < 0, следовательно, функция также убывает на этом интервале.
• Для x > 5, f''(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.

Теперь перейдем ко второй функции f(x) = 1.28x^10:

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 12.8x^9.

2. Критических точек здесь нет, так как производная всегда положительна для всех x.

3. Функция f(x) = 1.28x^10 монотонно возрастает на всей числовой оси, и у нее нет экстремумов.

Теперь перейдем к третьей функции f(x) = x^2(x - 6):

1. Найдем производную функции f(x): f'(x) = 2x(x - 6) + x^2.

2. Сначала найдем критические точки, где производная равна нулю: 2x(x - 6) + x^2 = 0.

   Решим это уравнение: x(2(x - 6) + x) = 0, x(2x - 12 + x) = 0, x(3x - 12) = 0.

   Получаем два корня: x = 0 и x = 4.

3. Теперь найдем вторую производную: f''(x) = 2(3x - 12) + 2x = 8x - 24.

4. Подставим критические точки во вторую производную: f''(0) = 8 * 0 - 24 = -24 (отрицательное значение), f''(4) = 8 * 4 - 24 = 32 - 24 = 8 (положительное значение).

Итак, у нас есть:

• При x = 0, f''(x) < 0, что означает, что это точка максимума.
• При x = 4, f''(x) > 0, что означает, что это точка минимума.

Теперь давайте определим интервалы монотонности:

• Для x < 0, f''(x) < 0, следовательно, функция убывает на этом интервале.
• Для 0 < x < 4, f''(x) < 0, следовательно, функция также убывает на этом интервале.
• Для x > 4, f''(x) > 0, следовательно, функция возрастает на этом интервале.