Question

Помогите пожалуйста. Нужно исследовать функцию и сделать чертеж. 2x^3+15x^2+36x+32 1) Найти область определения 2)исследовать функцию на непрерывность 3)найти интервалы возраст.и убыв., точки экстремума 4)интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба 5)найти асимптоты 6)сделать чертеж

Answer 1

Решение в прикрепленном файле.

Answer 2

1) Область определения функции

Для определения области определения функции, нужно найти значения x, при которых функция определена. В данном случае, у нас есть функция f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32.

Функция является полиномом, и полиномы определены для всех действительных чисел. То есть, область определения функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32 - это все действительные числа.

2) Исследование функции на непрерывность

Для исследования функции на непрерывность, нужно проверить, существуют ли разрывы или точки разрыва в функции.

Для полиномов, таких как f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32, функция будет непрерывной на всей области определения. Полиномы непрерывны на всей числовой прямой.

3) Интервалы возрастания и убывания, точки экстремума

Для определения интервалов возрастания и убывания, а также точек экстремума, нужно найти производную функции и найти ее корни.

Для функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32, найдем производную функции: f'(x) = 6x^2 + 30x + 36.

Чтобы найти интервалы возрастания и убывания, а также точки экстремума, нужно найти корни производной функции f'(x) = 6x^2 + 30x + 36.

Решив уравнение 6x^2 + 30x + 36 = 0, получим корни x = -3 и x = -2.

Теперь, чтобы определить интервалы возрастания и убывания, можно построить таблицу знаков производной функции f'(x) на основе найденных корней:

| x < -3 | -3 < x < -2 | x > -2 | |--------|-------------|-------| | - | + | + |

Из таблицы знаков видно, что функция возрастает на интервале (-бесконечность, -3) и убывает на интервале (-3, -2), а затем снова возрастает на интервале (-2, +бесконечность).

Точки экстремума функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32 находятся в точках x = -3 и x = -2.

4) Интервалы выпуклости и вогнутости, точки перегиба

Для определения интервалов выпуклости и вогнутости, а также точек перегиба, нужно найти вторую производную функции и найти ее корни.

Для функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32, найдем вторую производную функции: f''(x) = 12x + 30.

Чтобы найти интервалы выпуклости и вогнутости, а также точки перегиба, нужно найти корни второй производной функции f''(x) = 12x + 30.

Решив уравнение 12x + 30 = 0, получим корень x = -2.5.

Теперь, чтобы определить интервалы выпуклости и вогнутости, можно построить таблицу знаков второй производной функции f''(x) на основе найденного корня:

| x < -2.5 | x > -2.5 | |----------|----------| | - | + |

Из таблицы знаков видно, что функция является вогнутой на интервале (-бесконечность, -2.5) и выпуклой на интервале (-2.5, +бесконечность).

Точка перегиба функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32 находится в точке x = -2.5.

5) Асимптоты

Для определения асимптот функции, нужно проверить поведение функции на бесконечности.

Для функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32, можно определить следующие асимптоты:

- Вертикальная асимптота: функция может иметь вертикальную асимптоту, если знаменатель функции обращается в ноль при некотором значении x. Однако, в данном случае, функция является полиномом и не имеет вертикальных асимптот.

- Горизонтальная асимптота: чтобы определить горизонтальную асимптоту, нужно проверить поведение функции при x, стремящемся к бесконечности. В данном случае, так как степень наибольшего члена в функции равна 3, функция не имеет горизонтальных асимптот.

- Наклонная асимптота: функция может иметь наклонную асимптоту, если разность между функцией и прямой стремится к нулю при x, стремящемся к бесконечности. Для определения наклонной асимптоты, можно поделить функцию на x и найти предел этого отношения при x, стремящемся к бесконечности.

Поделим функцию f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32 на x: f(x)/x = (2x^3 + 15x^2 + 36x + 32)/x = 2x^2 + 15x + 36 + 32/x.

При x, стремящемся к бесконечности, второе слагаемое 32/x стремится к нулю, и остается только 2x^2 + 15x + 36.

Таким образом, наклонная асимптота функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32 имеет уравнение y = 2x^2 + 15x + 36.

6) Чертеж

Чтобы построить чертеж функции f(x) = 2x^3 + 15x^2 + 36x + 32, можно использовать найденную информацию о интервалах возрастания и убывания, точках экстремума, интервалах выпуклости и вогнутости, точках перегиба, асимптотах и области определения.

Note: The search results provided snippets that did not directly answer the questions. Therefore, the information provided in this response is based on general knowledge about polynomial functions and their properties.