Question

Знайти суму 1/2*5+1/5*8+1/8*11+...+1/(3n-1)*(3n+2) срочно

Answer 1

Відповідь:   n/[ 2( 3n + 2 ) ] .

Пояснення:

 Нехай  А = 1/(2*5) + 1/( 5*8) + 1/( 8*11 ) +...+ 1/ [ (3n-1)*(3n+2) ] , тоді,

 внаслідок того , що  аₙ = 1/ [ (3n-1)*(3n+2) ] = 1/3 * [1/(3n - 1 ) - 1/(3n + 2 )] ,

 маємо :   А = 1/3 *( 1/2 - 1/5 ) + 1/3 *( 1/5 - 1/8 ) + 1/3 *( 1/8 - 1/11 ) + ... +

 + 1/3 * [1/(3n - 1 ) - 1/(3n + 2 )] = 1/3 *( 1/2 - 1/( 3n + 2 ) ) = 3n/[6( 3n + 2 ) ] =

 = n/[ 2( 3n + 2 ) ] .

Answer 2

Да, конечно, давайте рассмотрим данное выражение. Судя по вашему вопросу, у вас имеется последовательность вида:

\[ \frac{1}{2} \cdot 5 + \frac{1}{5} \cdot 8 + \frac{1}{8} \cdot 11 + \ldots + \frac{1}{3n-1} \cdot (3n+2) \]

Давайте обозначим эту последовательность как \(S_n\), где \(n\) - количество слагаемых в последовательности.

Теперь давайте разберемся, как устроено каждое слагаемое:

\[ \frac{1}{(3k-1)} \cdot (3k+2) = \frac{3k+2}{3k-1}, \text{ где } k = 1, 2, 3, \ldots, n \]

Теперь, чтобы найти сумму всех этих слагаемых, сложим их:

\[ S_n = \frac{3 \cdot 1 + 2}{3 \cdot 1 - 1} + \frac{3 \cdot 2 + 2}{3 \cdot 2 - 1} + \ldots + \frac{3 \cdot n + 2}{3 \cdot n - 1} \]

Теперь, объединим все слагаемые с общим знаменателем:

\[ S_n = \frac{5}{2} + \frac{8}{5} + \frac{11}{8} + \ldots + \frac{3n + 2}{3n - 1} \]

Теперь у нас есть общий знаменатель вида \(3k - 1\), и мы можем сложить числители:

\[ S_n = \frac{(3 \cdot 1 + 2) + (3 \cdot 2 + 2) + \ldots + (3 \cdot n + 2)}{3n - 1} \]

Упростим числители:

\[ S_n = \frac{(3 + 2) + (6 + 2) + \ldots + (3n + 2)}{3n - 1} \]

\[ S_n = \frac{5 + 8 + \ldots + (3n + 2)}{3n - 1} \]

Теперь у нас есть выражение для суммы. Теперь мы можем решить этот ряд. Воспользуемся формулой суммы арифметической прогрессии:

\[ S_n = \frac{\frac{n}{2} \cdot (5 + (3n + 2))}{3n - 1} \]

Упростим это выражение:

\[ S_n = \frac{n(3n + 7)}{2(3n - 1)} \]

Таким образом, сумма данного ряда будет \(\frac{n(3n + 7)}{2(3n - 1)}\).