Question

Найти уравнение касательной к функции f(x)=x/2+x в точке: x0=4​

Answer 1

Решение:

Функция

$f(x) = \dfrac{x}{2+x}$

Производная функции

$f'(x) = \dfrac{1\cdot (2+x)-1\cdot x}{(2 + x)^2}$

$f'(x) = \dfrac{2}{(2 + x)^2}$

Уравнение касательной в точке  х₀ = 4 имеет вид

у = f(x₀)+ f'(x₀) · (x - x₀)

$f(x_0) = \dfrac{4}{2+4} = \dfrac{2}{3} .$

$f'(x) = \dfrac{2}{(2 + 4)^2} = \dfrac{1}{18} .$

$y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{18} \cdot (x - 4)$

$y = \dfrac{2}{3} + \dfrac{1}{18} \cdot x - \dfrac{2}{9}$

$\boxed {y = \dfrac{1}{18} \cdot x + \dfrac{2}{9}}$

или

$\boxed{x - 18y +4 = 0}$

Answer 2

Чтобы найти уравнение касательной к функции \( f(x) = \frac{x}{2} + x \) в точке \( x_0 = 4 \), нужно выполнить несколько шагов.

1. Найдем значение функции \( f(x) \) в точке \( x = 4 \):

\[ f(4) = \frac{4}{2} + 4 = 2 + 4 = 6 \]

Таким образом, координаты точки \( P \) на графике функции \( f(x) \), где \( x = 4 \) и \( y = 6 \).

2. Теперь найдем производную функции \( f(x) \) для того, чтобы найти угловой коэффициент касательной в точке \( x = 4 \).

\[ f(x) = \frac{x}{2} + x \]

Чтобы найти производную функции \( f(x) \), нужно взять производную каждого слагаемого.

\[ f'(x) = \frac{d}{dx} \left(\frac{x}{2}\right) + \frac{d}{dx}(x) \]

\[ f'(x) = \frac{1}{2} + 1 = \frac{3}{2} \]

Таким образом, угловой коэффициент касательной к функции \( f(x) \) в точке \( x = 4 \) равен \( \frac{3}{2} \).

3. Используем найденное значение \( f(4) = 6 \) и угловой коэффициент \( f'(4) = \frac{3}{2} \) для составления уравнения касательной в точке \( x = 4 \).

Формула уравнения касательной:

\[ y - y_0 = f'(x_0)(x - x_0) \]

Подставим значения:

\[ y - 6 = \frac{3}{2}(x - 4) \]

Упростим это уравнение:

\[ y - 6 = \frac{3}{2}x - 6 \]

\[ y = \frac{3}{2}x \]

Таким образом, уравнение касательной к функции \( f(x) = \frac{x}{2} + x \) в точке \( x = 4 \) есть \( y = \frac{3}{2}x \).