Question

Задано прямокутний паралелепіпед ABCDA1B1C1D1, в якому АВ =2см, АD=2см, AA1=4 см. Знайти тангенс кута між прямими В1D і СС1

Answer 1

Відповідь:    tg∠( В₁D ; CC₁ ) = √2/2 .  

Пояснення:

     Шуканий кут   α = ∠( В₁D ; CC₁ ) = ∠( B₁D ; DD₁ ) .  DD₁ = AA₁ = 4 см .

   Із прямок. Δ A₁B₁D₁    B₁D₁ = √( A₁B₁² + A₁D₁² ) = √( 2² + 2² ) =

   = √8 = 2√2  ( cм ) ;   B₁D₁ = 2√2 cм .

   Із прямок. Δ DB₁D₁     tgα = B₁D₁/DD₁ = 2√2/4 = √2/2 ;  tgα = √2/2 .

Answer 2

Відповідь: розв'язання завдання додаю

Пояснення: фото

Answer 3

Спершу знайдемо висоту паралелепіпеда. Відомо, що \(AA_1 = 4 \, \text{см}\), \(AD = 2 \, \text{см}\), тож можна використати теорему Піфагора в трикутнику \(AAD_1\):

\[AA_1^2 = AD^2 + A_1D_1^2\] \[4^2 = 2^2 + A_1D_1^2\] \[16 = 4 + A_1D_1^2\] \[A_1D_1^2 = 12\] \[A_1D_1 = \sqrt{12} = 2\sqrt{3} \, \text{см}\]

Тепер можемо знайти висоту \(h\) паралелепіпеда щодо основи \(ABCD\). Висота \(h\) буде рівна \(A_1D_1\), оскільки \(A_1D_1\) - проекція висоти \(h\) на площину основи.

Тепер знайдемо довжини відрізків \(B_1C_1\) і \(CC_1\). Вони дорівнюють відповідним сторонам основи. Оскільки \(AB = 2 \, \text{см}\), \(BC = AD = 2 \, \text{см}\), то \(B_1C_1 = BC = 2 \, \text{см}\).

Тепер, знаючи сторони трикутника \(B_1CC_1\) (рівності сторін трикутника), можемо визначити тангенс кута між прямими \(B_1D\) і \(CC_1\). Тангенс кута дорівнює відношенню протилежної сторони до прилеглої:

\[ \tan(\angle B_1CC_1) = \frac{B_1C_1}{BC} = \frac{2\, \text{см}}{2\, \text{см}} = 1 \]

Отже, тангенс кута між прямими \(B_1D\) і \(CC_1\) дорівнює 1.