Question

Решите неравенство:(x-2)^4*(x+2)(5-x)^2/(x^2-4x-5)≥ 0.

Answer 1

Решение.

$\bf \dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (5-x)^2}{x^2-4x-5}\geq 0$        ОДЗ:  $\bf x^2-4x-5\ne 0$  

Решаем методом интервалов .

Найдём нули функции , записанной в числителе:  

$\bf x=2\ ,\ x=-2\ ,\ x=5$

Найдём нули функции , записанной в знаменателе:

$\bf x^2-4x-5=0\ \ ,\ \ x_1=-1\ ,\ x_2=5$  (по теореме Виета)

$\bf \dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (5-x)^2}{(x+1)(x-5)}\geq 0\ \ \to \ \ \dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (x-5)^2}{(x+1)(x-5)}\geq 0\ \ ,\\\\\\\dfrac{(x-2)^4\cdot (x+2)\cdot (x-5)}{x+1}\geq 0$

Применили формулу:  $\bf (a-b)^2=(b-a)^2$   .  

Отметим точки на числовой прямой и подсчитаем знаки в получившихся интервалах .

$\boldsymbol{---[-2\, ]+++(-1)---[\, 2\, ]---(5)+++}$  

Ответ:    $\boldsymbol{x\in [-2\, ;-1\ )\cup \{\, 2\, \}\cup (\ 5\ ;+\infty \, )}$  .  

Answer 2

Чтобы решить данное неравенство, мы можем использовать метод интервалов и точек знакопеременности. Давайте разобьем числовую ось на интервалы, где выражение (x-2)^4*(x+2)(5-x)^2/(x^2-4x-5) является положительным или отрицательным.

1. Найдем точки разрыва функции. Для этого найдем значения x, при которых знаменатель x^2-4x-5 равен нулю. Решим уравнение x^2-4x-5 = 0:

Дискриминант D = 4^2 - 4*(-5) = 16 + 20 = 36 Корни уравнения: x = (4 ± √36) / 2 x = (4 ± 6) / 2 x = 5 или x = -1

Таким образом, у нас есть две точки разрыва функции: x = 5 и x = -1.

2. Разобьем числовую ось на четыре интервала, используя найденные точки разрыва: (-∞, -1), (-1, 5), (5, ∞).

3. Выберем тестовую точку из каждого интервала и определим знак выражения (x-2)^4*(x+2)(5-x)^2/(x^2-4x-5) в этой точке.

Для интервала (-∞, -1) выберем x = -2: (-2-2)^4 * (-2+2) * (5-(-2))^2 / ((-2)^2 - 4(-2) - 5) = (0)^4 * (0) * (7)^2 / (4 + 8 - 5) = 0

Для интервала (-1, 5) выберем x = 0: (0-2)^4 * (0+2) * (5-0)^2 / ((0)^2 - 4(0) - 5) = (-2)^4 * (2) * (5)^2 / (-5) = 160

Для интервала (5, ∞) выберем x = 6: (6-2)^4 * (6+2) * (5-6)^2 / ((6)^2 - 4(6) - 5) = (4)^4 * (8) * (-1)^2 / (36 - 24 - 5) = -256

4. Теперь мы можем составить таблицу знаков:

Интервал | (-∞, -1) | (-1, 5) | (5, ∞) ----------------------------------------- Знак | 0 | + | -

5. Исследуем значения неравенства в каждом интервале:

Для интервала (-∞, -1) неравенство принимает вид 0 ≥ 0, что является истиной. Для интервала (-1, 5) неравенство принимает вид 160 ≥ 0, что также является истиной. Для интервала (5, ∞) неравенство принимает вид -256 ≥ 0, что является ложью.

6. Итак, решением данного неравенства является объединение интервалов, в которых неравенство истинно, т.е. (-∞,