Question

Побудувати графік функції y=x²+6x+5 і визначити її : 1. найменьше значення; 2. проміжки у яких f(x)> , f(x)<0; 3. корені рівння f(x)=3 ; 4. проміжки спадання

Answer 1

Ответ:

1. f(x) наим. = -4

2. f(x)>0 при х ∈ (-∞; -5)∪(-1; +∞)

f(x)<0 при х ∈ (-5; -1)

3. -5,6; -0,4.

4. Функция убывает на промежутке (-∞; -3]

Объяснение:

Построить график функции y=x²+6x+5 и определить ее :

1. наименьшее значение;

2. промежутки, в которых f(x)>0,  f(x)<0;

3. корни уравнения f(x)=3;

4. промежутки убывания.

y = x² + 6x + 5

- квадратичная функция вида ax² + bx + c, график - парабола, а = 1 > 0 ⇒ ветви вверх.

Вершина:

$\displaystyle x_0=-\frac{b}{2a}=-\frac{6}{2}=-3 \\\\y_0=9-18+5=-4$

Пересечение с осью 0у ⇒ х = 0

у = 5

Пересечение с осью Ох ⇒ у = 0

$\displaystyle x^2+6x+5=0\\\\\sqrt{D}=\sqrt{36-20}=4\\ \\ x_1=\frac{-6+4}{2}=-1;\;\;\;\;\;x_2=\frac{-6-4}{2}=-5$

Дополнительные точки:

$\displaystyle\arraycolsep=0.7em\begin{array}{ | c | c |c|c| }\cline{1-4}x& -6 & -4 & -2 \\\cline{1-4}y& 5 & -3 & -3 \\\cline{1-4}\end{array}$

Строим график.

1. Наименьшее значение функция достигает в вершине.

f(x) наим. = -4

2. Промежутки, в которых f(x)>0,  f(x)<0.

f(x)>0 при х ∈ (-∞; -5)∪(-1; +∞)

f(x)<0 при х ∈ (-5; -1)

3. Корни уравнения f(x) = 3.

Находим на оси Оу точку 3, проводим прямую параллельную Ох.

Из точек пересечения с графиком опускаем перпендикуляры на ось Ох и находим значения х.

x ≈ -5,6;  x ≈ -0,4.

4. Промежутки убывания.

Функция убывает на промежутке (-∞; -3]

#SPJ1

Answer 2

Для побудови графіку функції y = x² + 6x + 5 спочатку знайдемо вершину параболи. Для цього використаємо формулу x = -b/2a, де a = 1, b = 6.

x = -6 / (2 * 1) = -3

Підставимо значення x = -3 у вихідну функцію, щоб знайти значення y:

y = (-3)² + 6(-3) + 5 = 9 - 18 + 5 = -4

Таким чином, вершина параболи має координати (-3, -4).

Тепер побудуємо графік функції:

За допомогою цих даних можна побудувати графік функції y = x² + 6x + 5:


1. Найменше значення функції можна знайти, знаходячи координати вершини параболи. У нашому випадку, найменше значення рівне -4.

2. Щоб знайти проміжки, де функція більше 0 або менше 0, треба дослідити знак функції на різних інтервалах. З графіка видно, що функція більше 0 на інтервалах (-∞, -5) і (-1, ∞), а менше 0 на інтервалі (-5, -1).

3. Щоб знайти корені рівняння f(x) = 3, потрібно розв'язати рівняння x² + 6x + 5 = 3. Переносимо все на одну сторону:

x² + 6x + 2 = 0

Розв'язуємо це квадратне рівняння за допомогою квадратного кореня:

x = (-6 ± √(6² - 4 * 1 * 2)) / (2 * 1)

x = (-6 ± √(36 - 8)) / 2

x = (-6 ± √28) / 2

x = (-6 ± 2√7) / 2

x = -3 ± √7

Таким чином, корені рівняння f(x) = 3 дорівнюють -3 + √7 та -3 - √7.

4. Проміжки спадання функції можна визначити, аналізуючи знак похідної функції. Похідна функції f'(x) = 2x + 6. Знаходимо точки перетину похідної з віссю Ox:

2x + 6 = 0

2x = -6

x = -3

Таким чином, функція спадає на проміжку (-∞, -3).