Question

Визначити найбільше значення функції y=x/36+x^2 на промені [0;+∞). Вказати стаціонарні точки.

Answer 1

Ответ:

Наибольшее значение функции: y наиб. = у(6) = 1/12.

Стационарные точки: x = ± 6

Объяснение:

Определить наибольшее значение функции

$\displaystyle \bf y=\frac{x}{36+x^2}$

на луче [0;+∞). Указать стационарные точки.

y(0) = 0

Определим стационарные точки.

• Стационарными точками функции называются точки, в которых производная функции равна нулю.

Найдем производную, приравняем к нулю и найдем корни.

$\displaystyle \bf y'=\frac{x'\cdot (36+x^2)-x\cdot(36+x^2)'}{(36+x^2)^2} =\\\\=\frac{36+x^2-2x^2}{(36+x^2)^2} =\frac{36-x^2}{(36+x^2)^2}$

y' = 0   ⇒   36 - x² = 0

(6 - x)(6 + x) = 0

x = ± 6 - стационарные точки.

Отметим их на числовой оси и определим знаки производной на промежутках. (см. рис)

• Если "+" - функция возрастает, если "-" - функция убывает.

На данном промежутке [0; +∞):

функция возрастает на промежутке [0; 6];

функция убывает на промежутке [6; +∞).

• Если производная меняет знак с плюса на минус, то в данной точке наблюдается максимум, если с минуса на плюс, то в данной точке  - минимум.

⇒ x max = 6

$\displaystyle \bf y(6)=\frac{6}{36+36}=\frac{1}{12}$

y наиб. = у(6) = 1/12.

#SPJ1

Answer 2

Функція y = x/36 + x^2 описує параболу, яка відкривається вгору. Щоб знайти найбільше значення цієї функції на промені [0, ∞), ми можемо використати кілька підходів.

Знайти вершину параболи

Функція y = x/36 + x^2 може бути перетворена до канонічної форми y = a(x - h)^2 + k, де (h, k) - координати вершини параболи. Зауважимо, що у нашому випадку a = 1, тому ми можемо використати цю формулу для знаходження вершини: h = -b/2a, де b - коефіцієнт при x у вихідному виразі функції.

У нашому випадку, b = 1/36, тому: h = -1/36 / (2 * 1) = -1/72.

Отже, координата x вершини параболи дорівнює -1/72.

Знайти значення функції в вершині

Тепер, коли ми знаходимо координату x вершини параболи, ми можемо обчислити відповідне значення функції y в цій точці. Підставимо x = -1/72 в вихідний вираз функції: y = (-1/72)/36 + (-1/72)^2 = -1/2592 + 1/5184 = 1/5184 - 1/2592 = -1/5184.

Отже, значення функції в вершині параболи дорівнює -1/5184.

Знайти стаціонарні точки

Стаціонарні точки - це точки, в яких похідна функції дорівнює нулю. Щоб знайти стаціонарні точки функції y = x/36 + x^2, ми можемо обчислити похідну цієї функції та знайти її корені.

Похідна функції y = x/36 + x^2 може бути обчислена за допомогою правила диференціювання суми та правила диференціювання степеневої функції. Отримаємо: y' = 1/36 + 2x.

Тепер, щоб знайти стаціонарні точки, ми можемо вирішити рівняння 1/36 + 2x = 0: 2x = -1/36, x = -1/72.

Отже, стаціонарна точка функції знаходиться при x = -1/72.

Висновок

Отже, найбільше значення функції y = x/36 + x^2 на промені [0, ∞) дорівнює -1/5184 і досягається в точці x = -1/72. Також, функція має стаціонарну точку при x = -1/72.