Question

280. Дан треугольник с вершинами А(-5; −2), В(-1; 4), C(5; 4). Найдите длины медиан этого треугольника.

Answer 1

Медиана - отрезок, соединяющий вершину треугольника с серединой противоположной стороны.

Найдем координаты середин сторон треугольника.

Каждая координата середины отрезка равна полусумме соответствующих координат концов отрезка.

Середина стороны АВ:

$C_1\left( \dfrac{-5+(-1)}{2};\ \dfrac{-2+4}{2} \right) \Rightarrow C_1\left( -3;\ 1 \right)$

Середина стороны ВС:

$A_1\left( \dfrac{-1+5}{2};\ \dfrac{4+4}{2} \right) \Rightarrow A_1\left( 2;\ 4 \right)$

Середина стороны АС:

$B_1\left( \dfrac{-5+5}{2};\ \dfrac{-2+4}{2} \right) \Rightarrow B_1\left( 0;\ 1 \right)$

Длина отрезка, концы которого имеют координаты $(x_1;\ y_1)$ и $(x_2;\ y_2)$, определятся по формуле:

$l=\sqrt{(x_2-x_1)^2+(y_2-y_1)^2}$

Находим длины медиан:

$AA_1=\sqrt{(2-(-5))^2+(4-(-2))^2} =\sqrt{7^2+6^2} =\sqrt{49+36} =\sqrt{85}$

$BB_1=\sqrt{(0-(-1))^2+(1-4))^2} =\sqrt{1^2+(-3)^2} =\sqrt{1+9} =\sqrt{10}$

$CC_1=\sqrt{(-3-5)^2+(1-4)^2} =\sqrt{(-8)^2+(-3)^2} =\sqrt{64+9} =\sqrt{73}$

Ответ: $AA_1=\sqrt{85};\ BB_1=\sqrt{10};\ CC_1=\sqrt{73}$

Answer 2

Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие вершину треугольника с серединами противоположных сторон.

Для нахождения середин сторон треугольника, нужно найти среднее арифметическое координат концов каждой стороны.

1. Найдем середину стороны AB: Середина стороны AB будет иметь координаты: x = (x1 + x2) / 2 = (-5 + (-1)) / 2 = -6/2 = -3 y = (y1 + y2) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 2/2 = 1

Таким образом, середина стороны AB имеет координаты M1(-3, 1).

2. Найдем середину стороны BC: Середина стороны BC будет иметь координаты: x = (x2 + x3) / 2 = (-1 + 5) / 2 = 4/2 = 2 y = (y2 + y3) / 2 = (4 + 4) / 2 = 8/2 = 4

Таким образом, середина стороны BC имеет координаты M2(2, 4).

3. Найдем середину стороны AC: Середина стороны AC будет иметь координаты: x = (x1 + x3) / 2 = (-5 + 5) / 2 = 0/2 = 0 y = (y1 + y3) / 2 = (-2 + 4) / 2 = 2/2 = 1

Таким образом, середина стороны AC имеет координаты M3(0, 1).

Теперь, чтобы найти длины медиан, нужно найти расстояния между вершинами треугольника и соответствующими серединами сторон.

1. Длина медианы AM1: √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2) = √((-3 - (-5))^2 + (1 - (-2))^2) = √(2^2 + 3^2) = √(4 + 9) = √13

2. Длина медианы BM2: √((x3 - x2)^2 + (y3 - y2)^2) = √((5 - (-1))^2 + (4 - 4)^2) = √(6^2 + 0^2) = √36 = 6

3. Длина медианы CM3: √((x1 - x3)^2 + (y1 - y3)^2) = √((-5 - 5)^2 + (-2 - 4)^2) = √((-10)^2 + (-6)^2) = √(100 + 36) = √136

Таким образом, длины медиан треугольника ABC равны: AM1 = √13 BM2 = 6 CM3 = √136