Question

Дано, що 90°≤α≤180° , sec α= 1+a. Обчислити tgα. Яким повинно бути число а?

Answer 1

Ми знаємо, що `sec α = 1/cos α`. Замінюючи sec α на `1+a`, ми можемо записати рівняння: `1+a = 1/cos α`. Оскільки `cos α` є функцією зі сталим знаком на інтервалі `90°≤α≤180°` та не приймає значення 0, ми можемо зробити висновок, що `cos α > 0` на цьому інтервалі, і ми можемо розділити обидві частини на `cos α`, отримуючи:1/cos α = 1 + a

Тепер ми можемо використовувати визначення тангенса для знаходження `tan α`:

tan α = sin α / cos α

Знаходимо значення синуса:

sin α = √(1 - cos² α) = √(1 - (1/(1 + a))²) = √(1 - 1/(1 + 2a + a²))

Тепер можемо записати тангенс:

tan α = sin α / cos α = √(1 - 1/(1 + 2a + a²)) / (1/(1 + a))

Щоб визначити, яким повинно бути `a`, щоб цей тангенс мав зміст і перебував на інтервалі `90°≤α≤180°`, потрібно врахувати, що на цьому інтервалі тангенс від'ємний. Таким чином, потрібно вирішити наступну нерівність:

√(1 - 1/(1 + 2a + a²)) / (1/(1 + a)) < 0

Загальний знаменник в правій частині нерівності позитивний, тому ми можемо помножити обидві частини на нього, міняючи знак при переносі:

√(1 - 1/(1 + 2a + a²)) * (1 + a) > 0

Оскільки вилучення квадратного кореня можливо тільки для не від’ємних значень, потрібно пересвідчитися, що підкореневий вираз не перевищує 1:

1 - 1/(1 + 2a + a²) ≤ 1

Звідси випливає, що

1 + 2a + a² ≥ 1

a² + 2a ≥ 0

a(a + 2) ≥ 0

Таким чином, умова, яку повинно задовольняти `a`, щоб тангенс на інтервалі `90°≤α≤180°` мав плавний характер і задовольняв завданню, це `a ≤ -2` або `a ≥ 0`.

Answer 2

Для розв'язання цього завдання використаємо тригонометричний тотожність: \( \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \).

Маємо дано, що \( \sec \alpha = 1 + a \). Підставимо це у тотожність:

\[ \tan^2 \alpha + 1 = (1 + a)^2 \]

Розкриємо квадрат і спростимо вираз:

\[ \tan^2 \alpha + 1 = 1 + 2a + a^2 \]

Тепер візьмемо до уваги, що \( \tan^2 \alpha + 1 = \sec^2 \alpha \). Підставимо це значення у вираз:

\[ \sec^2 \alpha = 1 + 2a + a^2 \]

Оскільки \( \sec \alpha = 1 + a \), підставимо це значення:

\[ (1 + a)^2 = 1 + 2a + a^2 \]

Розкриємо квадрат та спростимо рівняння:

\[ 1 + 2a + a^2 = 1 + 2a + a^2 \]

Це рівняння істинне для будь-якого значення \( a \), оскільки обидві його сторони ідентичні. Отже, умова на \( a \) не обмежує рівняння, і ми не можемо визначити єдине значення \( a \).

Щоб визначити значення \( \tan \alpha \), можемо скористатися тотожністю \( \tan \alpha = \sqrt{\sec^2 \alpha - 1} \). Підставимо значення \( \sec \alpha = 1 + a \):

\[ \tan \alpha = \sqrt{(1 + a)^2 - 1} \]

\[ \tan \alpha = \sqrt{1 + 2a + a^2 - 1} \]

\[ \tan \alpha = \sqrt{2a + a^2} \]

Отже, \( \tan \alpha = \sqrt{a^2 + 2a} \), і ми не можемо конкретно визначити це значення без конкретного значення \( a \).