Question

Даны координаты вершин пирамиды ABCD. Найти: 1) угол между ребрами AB и AD; 2) уравнение плоскости ABC; 3) угол между ребром AD и гранью ABC; 4) площадь грани ABC; 5) объем пирамиды; 6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC. А (1,-4,0), В (5,0,-2), С (3,7,-10), D (1,-2,1).

Answer 1

Даны координаты вершин пирамиды ABCD:

А (1,-4,0), В (5,0,-2), С (3,7,-10), D (1,-2,1).

Найти: 1) угол между ребрами AB и AD;

                                   x    y     z    СумКвад. Длина ребра  

Вектор АВ={xB-xA, yB-yA, zB-zA} 4    4    -2              36        6

Вектор АD={xD-xA, yD-yA, zD-zA} 0     2       1               5     2,23607.

cos(AB_AD) = (4*0 + 4*2 + (-*2)*1) / (6*√5) = 6/(6*√5) = √5/5.

Угол равен arc cos(√5/5) = 1,10715 радиан или 63,4349 градуса.

2) уравнение плоскости ABC;

Для составления уравнения плоскости используем формулу:

x - xA y - yA z - zA

xB - xA yB - yA zB - zA

xC - xA yC - yA zC - zA

 = 0

Подставим данные и упростим выражение:

x - 1      y - (-4)             z - 0

5 - 1       0 - (-4)     (-2) - 0

3 - 1       7 - (-4)     (-10) - 0

 = 0

x - 1       y - (-4)    z - 0

4        4              -2

2        11      -10

 = 0

( x - 1)  4·(-10)-(-2)·11  -  (y - (-4))  4·(-10)-(-2)·2  +  (z - 0)  4·11-4·2  = 0

(-18) x - 1  + 36 y - (-4)  + 36 z - 0  = 0

- 18x + 36y + 36z + 162 = 0

x - 2y - 2z - 9 = 0

3) угол между ребром AD и гранью ABC;

Уравнение AD: (x - 1)/0 = (y + 4)/2 = z/1.

Найдем угол между прямой  (x - 1)/ 0  =   (y + 4)/ 2  =   z/ 1  и плоскостью

x - 2y - 2z - 9 = 0 .

Направляющий вектор прямой имеет вид: s =  0; 2; 1  

Вектор нормали плоскости имеет вид: q =  1; -2  

Вычислив угол между векторами, найдем угол между прямой и плоскостью:

sin φ = |cos ψ| =   | s · q | | s |·| q |  =

=   | sx · qx + sy · qy + sz · qz | /√(sx² + sy² + sz²) · √(qx² + qy² + qz²)  =

=   | 1 · 0 + (-2) · 2 + (-2) · 1 | /√(1² + (-2)² + (-2)²) · √(0² + 2² + 1²)  =

=   | 0 - 4 - 2 | /(√(1 + 4 + 4) · √(0 + 4 + 1)) =

=   6 /(√9 · √5)  =

=   6 /√45  =   2√5/ 5  ≈ 0.89443.

φ = 63.43495°.

4) площадь грани ABC;

Площадь грани ABC равна половине модуля векторного произведения: S = (1/2)|AB*AC|.

 i        j     k|       i        j

4     4     -2|      4       4

2     11     -10|    2      11   =   -40i - 4j + 44k + 40j + 22i - 8k =

                                        =   -18i + 36j + 36k.

Модуль равен √((-1/)² + 36² +36²) = √2916 = 54.

Площадь S = (1/2)*54 = 27.

5) объем пирамиды;

Объём пирамиды V = (1/6)*|(ABxAC)*AD|.

ABxAC    =    -18      36       36

      АD    =     0         2          1

(1/6)*|(ABxAC)*AD| = (1/6)*|(0 + 72 + 36)| = 108/6 = 18.

6) уравнение высоты опущенной из вершины D на грань ABC.

Нормальный вектор плоскости АВС является направляющим вектором высоты из вершины D на грань ABC.

Точка D (1,-2,1). Вектор (1; - 2; - 2).

Уравнение высоты: (x - 1)/1 = (y + 2)/(-2) = (z - 1)/(-2).

Answer 2

Нахождение угла между ребрами AB и AD

Для нахождения угла между ребрами AB и AD в пирамиде, мы можем использовать скалярное произведение векторов. Сначала найдем векторы AB и AD, а затем применим формулу:

cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|)

где AB · AD - скалярное произведение векторов AB и AD, |AB| и |AD| - длины векторов AB и AD соответственно, θ - искомый угол.

Координаты вершин пирамиды: A(1,-4,0), B(5,0,-2), C(3,7,-10), D(1,-2,1).

Вычислим векторы AB и AD: AB = B - A = (5, 0, -2) - (1, -4, 0) = (4, 4, -2) AD = D - A = (1, -2, 1) - (1, -4, 0) = (0, 2, 1)

Теперь найдем длины векторов AB и AD: |AB| = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6 |AD| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5

Вычислим скалярное произведение AB и AD: AB · AD = (4 * 0) + (4 * 2) + (-2 * 1) = 0 + 8 - 2 = 6

Теперь можем найти угол θ: cos(θ) = (AB · AD) / (|AB| * |AD|) = 6 / (6 * √5) = 6 / (6√5) = 1 / √5

Итак, угол между ребрами AB и AD равен: θ = cos^(-1)(1 / √5)

Ответ: θ = cos^(-1)(1 / √5) (в радианах) или примерно 26.57 градусов.

Нахождение уравнения плоскости ABC

Чтобы найти уравнение плоскости ABC, мы можем использовать точку A и векторное произведение двух ребер AB и AC. Уравнение плоскости имеет вид:

Ax(x - x0) + By(y - y0) + Cz(z - z0) = 0

где (x0, y0, z0) - координаты точки на плоскости (в данном случае точка A), A, B, C - коэффициенты плоскости, которые можно получить из векторного произведения двух ребер.

Векторное произведение ребер AB и AC: AB × AC = (4, 4, -2) × (2, 11, -10)

Вычислим векторное произведение AB и AC: AB × AC = ((4 * 11) - (4 * (-10)), ((-2) * 2) - ((4 * (-10))), ((4 * 2) - (4 * 11))) = (54, -18, -38)

Теперь можем записать уравнение плоскости ABC, используя точку A(1,-4,0) и полученный вектор (54, -18, -38): 54(x - 1) - 18(y + 4) - 38z = 0

Упростим уравнение: 54x - 54 - 18y - 72 - 38z = 0 54x - 18y - 38z = 126

Итак, уравнение плоскости ABC имеет вид: 54x - 18y - 38z = 126

Нахождение угла между ребром AD и гранью ABC

Чтобы найти угол между ребром AD и гранью ABC, мы можем использовать скалярное произведение векторов AD и нормали грани ABC. Сначала найдем нормаль к плоскости ABC, используя коэффициенты A, B, C из уравнения плоскости, а затем применим формулу:

cos(θ) = (AD · N) / (|AD| * |N|)

где AD · N - скалярное произведение векторов AD и нормали грани ABC, |AD| и |N| - длины векторов AD и нормали грани ABC соответственно, θ - искомый угол.

Коэффициенты плоскости ABC: A = 54, B = -18, C = -38

Нормаль к плоскости ABC: N = (A, B, C) = (54, -18, -38)

Вычислим длину вектора N: |N| = √(54^2 + (-18)^2 + (-38)^2) = √(2916 + 324 + 1444) = √5784 = 76

Вычислим длину вектора AD: |AD| = √(0^2 + 2^2 + 1^2) = √(0 + 4 + 1) = √5

Вычислим скалярное произведение AD и N: AD · N = (0 * 54) + (2 * (-18)) + (1 * (-38)) = 0 - 36 - 38 = -74

Теперь можем найти угол θ: cos(θ) = (AD · N) / (|AD| * |N|) = -74 / (√5 * 76) = -74 / (76√5)

Итак, угол между ребром AD и гранью ABC равен: θ = cos^(-1)(-74 / (76√5))

Нахождение площади грани ABC

Чтобы найти площадь грани ABC, мы можем использовать формулу площади треугольника, где основание треугольника - ребро AB, а высота - расстояние от вершины C до плоскости ABC.

Сначала найдем векторное произведение ребер AB и AC, чтобы найти нормаль к плоскости ABC. AB × AC = (4, 4, -2) × (2, 11, -10) = (54, -18, -38)

Теперь найдем длину вектора AB: |AB| = √(4^2 + 4^2 + (-2)^2) = √(16 + 16 + 4) = √36 = 6

Найдем расстояние от вершины C(3,7,-10) до плоскости ABC, используя формулу:

d = (|N| * h) / |AB|

где |N| - длина вектора нормали к плоскости ABC, h - расстояние от вершины C до плоскости ABC.

|N| = √(54^2 + (-18)^2 + (-38)^2) = √(2916 + 324 + 1444) = √5784 = 76

Расстояние h = |AC × AB| / |AB| AC × AB = (2, 11, -10) × (4, 4, -2) = (-66, -20, 52)

|AC × AB| = √((-66)^2 + (-20)^2 + 52^2) = √(4356 + 400 + 2704) = √7460 ≈ 86.34

h = 86.34 /