Question

Площа прямокутника 4200 см (квадратних). Якщо довжину прямокутника збільшити на 50см, а ширину зменшити на 25см,то площа не зміниться. Знайдіть сторони прямокутника

Answer 1

Ответ:

Нехай довжина прямокутника дорівнює L см, а ширина дорівнює W см.

За умовою задачі, площа прямокутника дорівнює 4200 кв. см, тобто:

L * W = 4200

Також, за умовою задачі, якщо довжину збільшити на 50 см, а ширину зменшити на 25 см, то площа прямокутника залишиться незмінною, тобто:

(L + 50) * (W - 25) = L * W

Розкриваємо дужки та скорочуємо подібні доданки:

LW + 50W - 25L - 1250 = LW

50W - 25L = 1250

2W - L = 50 (*)

Ми отримали систему рівнянь з двох змінних:

LW = 4200

2W - L = 50

Розв'язуємо її методом підстановки. З (*) виразимо L через W:

L = 2W - 50

Підставляємо це значення L в перше рівняння системи:

(2W - 50)W = 4200

2W^2 - 50W - 4200 = 0

W^2 - 25W - 2100 = 0

Знаходимо корені цього квадратного рівняння:

W1 = 75

W2 = -28

Оскільки ширина не може бути від'ємною, то відкидаємо корінь W2 = -28. Залишається корінь W1 = 75.

Тепер з (*) можемо знайти відповідне значення довжини:

L = 2W - 50 = 2*75 - 50 = 100

Отже, сторони прямокутника дорівнюють 100 см та 75 см.

Объяснение:

Answer 2

Позначимо довжину прямокутника через \(x\) см, а ширину через \(y\) см. Тоді маємо:

\[xy = 4200 \, \text{см}^2\]

За умовою задачі, якщо довжину збільшити на 50 см, а ширину зменшити на 25 см, отримаємо нові розміри:

\[(x + 50) \cdot (y - 25)\]

Також за умовою задачі, площа не зміниться:

\[(x + 50) \cdot (y - 25) = 4200\]

Розкриємо дужки:

\[xy - 25x + 50y - 1250 = 4200\]

Підставимо вираз для \(xy\) з першого рівняння:

\[4200 - 25x + 50y - 1250 = 4200\]

Спростимо рівняння, віднявши 4200 з обох боків:

\[-25x + 50y - 1250 = 0\]

Додамо 1250 до обох боків:

\[-25x + 50y = 1250\]

Розділимо обидва члени на 25:

\[-x + 2y = 50\]

Перенесемо \(-x\) на інший бік:

\[2y = x + 50\]

Розділимо обидва члени на 2:

\[y = \frac{x}{2} + 25\]

Тепер ми маємо систему рівнянь:

\[\begin{cases} xy = 4200 \\ y = \frac{x}{2} + 25 \end{cases}\]

Підставимо друге рівняння в перше:

\[x \left(\frac{x}{2} + 25\right) = 4200\]

Розвинемо дужки та спростимо рівняння:

\[\frac{x^2}{2} + 25x = 4200\]

Помножимо обидва члени на 2, щоб позбавитися від знаменника:

\[x^2 + 50x = 8400\]

Перенесемо все на один бік та зведемо квадратне рівняння:

\[x^2 + 50x - 8400 = 0\]

Тепер можна вирішити це квадратне рівняння, наприклад, за допомогою квадратного кореня. Розв'язавши рівняння, знайдемо значення \(x\) (довжина) і \(y\) (ширина) прямокутника.