Question

Доведіть, що значення виразу (3n + 1)(2n – 1) + n + 7 для кожного цілого значення n ділиться на 6.

Answer 1

Ответ:

(3n + 1)(2n – 1) + n + 7

6n^2 -n -1 +n +7

6n^2 + 6

6(n^2 + 1)

ділиться на

6

Объяснение:

Answer 2

Щоб довести, що вираз \((3n + 1)(2n - 1) + n + 7\) ділиться на 6 для будь-якого цілого значення \(n\), можемо використовувати метод математичної індукції.

Математична індукція - це метод математичного доведення тверджень для всіх натуральних чисел. Використовуючи математичну індукцію, ми спочатку перевіряємо твердження для певного значення (зазвичай для \(n = 1\)), а потім доводимо, що, якщо воно справедливе для деякого \(n = k\), то воно також справедливе для \(n = k + 1\).

1. Базовий випадок: Перевіримо для \(n = 1\). Підставимо \(n = 1\) у вираз: \((3(1) + 1)(2(1) - 1) + 1 + 7\) Отримаємо: \((4)(1) + 1 + 7 = 4 + 1 + 7 = 12\) \(12\) ділиться на \(6\), оскільки \(12 = 6 \times 2\).

2. Передположення індукції: Припустимо, що вираз \((3k + 1)(2k - 1) + k + 7\) ділиться на \(6\) для деякого цілого числа \(k\).

3. Індуктивний крок: Доведемо для \(n = k + 1\). Підставимо \(n = k + 1\) у вираз: \[(3(k + 1) + 1)(2(k + 1) - 1) + (k + 1) + 7\] \[(3k + 3 + 1)(2k + 2 - 1) + k + 1 + 7\] \[(3k + 4)(2k + 1) + k + 8\] \[6k^2 + 3k + 8k + 4 + k + 8\] \[6k^2 + 11k + 12\]

Тепер розглянемо вираз \(6k^2 + 11k + 12\). Ми можемо виразити його як \(6k^2 + 12k + k\).

Очевидно, що \(6k^2 + 12k\) ділиться на \(6\), оскільки обидва члени містять \(6\) як спільний множник.

Також, \(k\) - це ціле число, і тому \(k\) ділиться на \(6\) тоді і тільки тоді, коли \(k\) кратне \(6\).

Таким чином, весь вираз \(6k^2 + 11k + 12\) ділиться на \(6\).

Отже, ми довели, що якщо вираз \((3n + 1)(2n - 1) + n + 7\) ділиться на \(6\) для \(n = k\), то він також ділиться на \(6\) для \(n = k + 1\). Оскільки ми вже перевірили базовий випадок для \(n = 1\), це твердження справедливе для всіх цілих значень \(n\).