Question

Найдите все члены последовательности (сn), заданной формулой un = n2 - n, для которых выполняется неравенство un < 12​

Answer 1

Ответ:

n = 0, 1, 2, 3

Объяснение:

$n^2-n < 12; \\ n^2-n-12 < 0;$
Для нахождения корней решим квадратное равенство
$\displaystyle n^2-n-12 = 0; \\ D = (-1)^2-4*1*(-12) = 1+48 = 49 = 7^2; \\ n_{12} = \frac{1 \pm 7}{2*1}; \\ n_1 = \frac{8}{2} = 4; n_2 = \frac{-6}{2} = -3;$
Вернёмся к решению неравенства, представив выражение вида ax²+bx+c в виде a(x-x₁)(x-x₂)
$\displaystyle (n-4)(n+3) < 0$
Произведение будет меньше нуля в том случае, когда один из множителей положителен, а второй - отрицателен
$\displaystyle (n-4)(n+3) < 0 < = > \left[\begin{array}{ccc}\left \{ {{n-4 > 0} \atop {n+3 < 0}} \right. \\\left \{ {{n-4 < 0} \atop {n+3 > 0}} \right. \\\end{array} < = > \left[\begin{array}{ccc}\left \{ {{n > 4} \atop {n < -3}} \right. \\\left \{ {{n < 4} \atop {n > -3}} \right. \\\end{array} < = > \left[\begin{array}{ccc}n \notin \varnothing \\-3 < n < 4\\\end{array} < = > n \in (-3;4)$
Т.к. последовательность не может иметь отрицательные члены ⇒ n = 0, 1, 2, 3

Answer 2

Данная последовательность задана формулой un = n^2 - n. Нам нужно найти все члены последовательности, для которых выполняется неравенство un < 12.

Для начала, мы можем составить таблицу значений для нескольких первых членов последовательности:

n | un ----------- 1 | 0 2 | 2 3 | 6 4 | 12 5 | 20 6 | 30

Из таблицы видно, что первые несколько членов последовательности не удовлетворяют неравенству un < 12. Однако, начиная с n = 5, значения становятся больше 12.

Теперь давайте решим неравенство un < 12 аналитически:

un < 12 n^2 - n < 12 n^2 - n - 12 < 0

Чтобы решить это квадратное неравенство, мы можем представить его в виде (n - a)(n - b) < 0, где a и b - корни квадратного уравнения n^2 - n - 12 = 0.

Решим квадратное уравнение n^2 - n - 12 = 0:

(n - 4)(n + 3) = 0

Отсюда получаем два корня: n = 4 и n = -3.

Теперь мы можем построить числовую прямую и определить интервалы, на которых неравенство (n - 4)(n + 3) < 0