Question

Найдите количество целых n, для которых 4n^4 + 1 является простым числом.​

Answer 1

Ответ:

Замітимо, що якщо число n - парне, то 4n^4 + 1 буде не парним, а тому не буде простим, тому що його можна буде розкласти на добуток двох чисел: 2 та (2n^2 + 1), які більше за 1.

Отже, шукати прості числа можна лише серед непарних значень n. Запишемо, що:

4n^4 + 1 = (2n^2 + 2n + 1)(2n^2 - 2n + 1).

Можна перевірити, що обидва множники цілі та більші за 1, коли n > 0. Таким чином, щоб 4n^4 + 1 було простим, потрібно, щоб хоча б один з множників був рівним 1. Але це неможливо, оскільки обидва множники більші за 1 при n > 0.

Отже, немає жодного цілого числа n, для якого 4n^4 + 1 є простим числом.

Answer 2

Чтобы найти количество целых n, для которых выражение 4n^4 + 1 является простым числом, мы можем использовать метод проверки простоты числа и анализировать выражение для различных значений n.

Простые числа - это числа, которые имеют только два делителя: 1 и само число. Если выражение 4n^4 + 1 является простым числом, это означает, что оно не может быть разделено на другие целые числа кроме 1 и самого себя.

Исходя из этого, давайте попробуем найти некоторые значения n, для которых выражение 4n^4 + 1 является простым числом:

- При n = 0, выражение равно 1, что не является простым числом. - При n = 1, выражение равно 5, что является простым числом. - При n = 2, выражение равно 33, что не является простым числом. - При n = 3, выражение равно 325, что не является простым числом. - При n = 4, выражение равно 1297, что является простым числом.

Из этих значений мы видим, что при n = 1 и n = 4 выражение 4n^4 + 1 является простым числом. Таким образом, у нас есть два значения n, для которых это выражение является простым числом.

Теперь давайте рассмотрим общее решение. Чтобы найти все значения n, для которых выражение 4n^4 + 1 является простым числом, нам нужно проанализировать это выражение более подробно и исследовать свойства простых чисел, особенно в отношении квадратов.

Мы знаем, что 4n^4 + 1 может быть записано как (2n^2)^2 + 1. Это напоминает нам формулу суммы двух квадратов: a^2 + b^2 = c^2. Однако, в данном случае у нас есть дополнительное слагаемое 1.

Известно, что сумма двух квадратов не может быть простым числом, если оба квадрата нечётные. То есть, если (2n^2) является нечётным числом, то 4n^4 + 1 не может быть простым числом.

С другой стороны, если (2n^2) является чётным числом, то 4n^4 + 1 может быть простым числом. Это происходит только в двух случаях:

- Когда (2n^2) = 0, что соответствует n = 0. - Когда (2n^2) = 2, что соответствует n = 1.

Таким образом, мы получаем те же два значения n = 0 и n = 1, которые мы обнаружили в предыдущем анализе.

В итоге, количество целых n, для которых выражение 4n^4 + 1 является простым числом, равно 2 (n = 0 и n = 1).