Question

Найдите производную функцию обратной данной y=2x+3/x-1​

Answer 1

Ответ:

Щоб знайти похідну функції оберненої до даної, використовується формула:

(dy/dx)^(-1) = dx/dy

де dy/dx є похідною за вхідною змінною, а dx/dy є похідною за вихідною змінною функції оберненої до даної.

Починаємо з даної функції:

y = (2x+3)/(x-1)

Щоб знайти похідну за вхідною змінною, застосовуємо правило диференціювання дробової функції:

dy/dx = [(x-1)(2) - (2x+3)(1)]/(x-1)^2

dy/dx = (2x-2 - 2x-3)/(x-1)^2

dy/dx = (5-x)/(x-1)^2

Тепер за формулою, яку ми згадали вище, можна знайти похідну функції оберненої до даної:

(dx/dy) = (dy/dx)^(-1)

dx/dy = (5-x)^(-1/2) / (x-1)^2

Answer 2

Чтобы найти производную функции, обратной данной, давайте сначала найдем саму обратную функцию. Пусть \(y = \frac{2x + 3}{x - 1}\), тогда найдем обратную функцию \(x\) относительно \(y\).

1. Замена переменных: \[ y = \frac{2x + 3}{x - 1} \]

2. Перепишем уравнение, чтобы выразить \(x\): \[ x - 1 = \frac{2x + 3}{y} \]

3. Избавимся от дроби в знаменателе: \[ y \cdot (x - 1) = 2x + 3 \]

4. Раскроем скобки: \[ xy - y = 2x + 3 \]

5. Сгруппируем переменные \(x\): \[ xy - 2x = y + 3 \]

6. Выразим \(x\): \[ x(y - 2) = y + 3 \] \[ x = \frac{y + 3}{y - 2} \]

Теперь у нас есть обратная функция: \(x = \frac{y + 3}{y - 2}\).

Теперь найдем производную обратной функции. Для этого воспользуемся формулой для производной обратной функции:

\[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'(f^{-1}(x))} \]

где \(f'(x)\) - производная исходной функции \(f(x)\), а \(f^{-1}(x)\) - обратная функция.

1. Находим производную \(f(x)\): \[ f(x) = \frac{y + 3}{y - 2} \]

Сначала найдем производную по \(y\): \[ f'(x) = \frac{d}{dy}\left(\frac{y + 3}{y - 2}\right) \]

Используем правило дифференцирования частного: \[ f'(x) = \frac{(y - 2) - (y + 3)}{(y - 2)^2} \]

Упростим: \[ f'(x) = -\frac{5}{(y - 2)^2} \]

2. Подставляем \(f^{-1}(x)\) в формулу для производной обратной функции: \[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{f'\left(\frac{y + 3}{y - 2}\right)} \]

Подставим \(f^{-1}(x)\) в \(f'(x)\): \[ (f^{-1})'(x) = \frac{1}{-\frac{5}{\left(\frac{y + 3}{y - 2}\right) - 2)^2}} \]

Упростим выражение: \[ (f^{-1})'(x) = -\frac{(y - 2)^2}{5} \]

Таким образом, производная функции, обратной к \(y = \frac{2x + 3}{x - 1}\), равна \(-\frac{(y - 2)^2}{5}\).