Question

У геометричній прогресії с4=24. с6=96. q>0. Знайдіть S6

Answer 1

$\displaystyle\bf\\\left \{ {{c_{6}=96 } \atop {c_{4}=24 }} \right.\\\\\\:\left \{ {{c_{1}\cdot q^{5} =96 } \atop {c_{1}\cdot q^{3} =24 }} \right.\\--------\\q^{2} =4\\\\q > 0 \ \ \Rightarrow \ \ q=2\\\\c_{1}=24:q^{3}=24: 2^{3} =24:8=3\\\\\\S_{6} =\frac{c_{6} \cdot q-c_{1} }{q-1} =\frac{96\cdot 2-3}{2-1}=192-3=189\\\\\\Otvet \ : \ S_{6}=189$

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

Дано:  с₄= 24 с₆ = 96 q > 0

Найти: S₆ - ?

с₄ = с₁ * q³

с₆ = с₁ * q⁵

Знайдемо різницю геометричної прогресії:

с₆ : с₄ = (с₁ * q⁵) : (с₁ * q³)

96 : 24 = q²

4 = q²

q = √4

q = 2

Вичислимо с₁

с₁ = с₄/q³ = 24/2³ = 24/8 = 3

Знайдемо суму перших шести членів геометричної прогресії:

S₆ = с₁(1 - q⁶)/(1 - q) = 3 * (1 - 2⁶)/(1 - 2) = 3 * ( 1 - 64)/(-1) = -189/(-1) = 189

Answer 3

У геометрической прогрессии общий член \(a_n\) выражается формулой:

\[a_n = a_1 \cdot q^{(n-1)}\]

где: - \(a_n\) - значение n-го члена прогрессии, - \(a_1\) - значение первого члена прогрессии, - \(q\) - знаменатель прогрессии, - \(n\) - номер члена прогрессии.

У вас даны два члена прогрессии: \(a_4 = 24\) и \(a_6 = 96\). Подставим эти значения в формулу:

1. Для \(n=4\): \[24 = a_1 \cdot q^{(4-1)}\] \[24 = a_1 \cdot q^3\]

2. Для \(n=6\): \[96 = a_1 \cdot q^{(6-1)}\] \[96 = a_1 \cdot q^5\]

Теперь мы можем разделить второе уравнение на первое, чтобы устранить \(a_1\):

\[\frac{96}{24} = \frac{a_1 \cdot q^5}{a_1 \cdot q^3}\]

\[\frac{96}{24} = q^2\]

\[4 = q^2\]

Теперь найдем значение \(q\):

\[q = \sqrt{4}\]

\[q = \pm 2\]

Таким образом, у нас два возможных значений для \(q\): \(q = 2\) или \(q = -2\).

Теперь мы можем найти значение первого члена прогрессии \(a_1\) с использованием одного из уравнений, например, первого:

\[24 = a_1 \cdot 2^3\]

\[24 = a_1 \cdot 8\]

\[a_1 = \frac{24}{8}\]

\[a_1 = 3\]

Теперь у нас есть значения \(a_1\) и \(q\), и мы можем использовать их для нахождения суммы первых шести членов прогрессии \(S_6\). Сумма прогрессии выражается формулой:

\[S_n = a_1 \cdot \frac{q^n - 1}{q - 1}\]

Подставим значения:

\[S_6 = 3 \cdot \frac{2^6 - 1}{2 - 1}\]

\[S_6 = 3 \cdot \frac{64 - 1}{1}\]

\[S_6 = 3 \cdot \frac{63}{1}\]

\[S_6 = 189\]

Таким образом, сумма первых шести членов данной геометрической прогрессии равна 189.