Question

Знайдіть значення похідної функції у=5х+1/х-2 у точці хо=1​

Answer 1

Відповідь:Для знаходження похідної функції використаємо формулу диференціювання дробової функції та правило диференціювання суми функцій:

(f/g)' = (f'g - fg')/g^2

(d/dx)(5x + 1/(x-2)) = (d/dx)(5x) + (d/dx)(1/(x-2))

= 5 + (-1)/(x-2)^2

Тому, значення похідної функції у = 5x + 1/(x-2) у точці xo=1:

у'(1) = 5 + (-1)/(1-2)^2 = 5 + (-1) = 4

Отже, значення похідної функції у точці xo=1 дорівнює 4.

Пояснення:

Answer 2

Звісно, розглянемо це. Похідна функції - це швидкість зміни значення функції відносно зміни її аргументу. У вашому випадку маємо функцію \( y = \frac{5x + 1}{x - 2} \) і вам потрібно знайти значення похідної цієї функції в точці \( x_0 = 1 \).

Спершу визначимо саму похідну цієї функції за допомогою правила диференціювання частки та правила лінійності похідної:

\[ y = \frac{5x + 1}{x - 2} \]

Для обчислення похідної використаємо правило диференціювання частки, яке говорить, що похідна частки функцій \( \frac{f(x)}{g(x)} \) рівна

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right) = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{(g(x))^2} \]

Де \( f'(x) \) - похідна функції \( f(x) \) та \( g'(x) \) - похідна функції \( g(x) \).

Знайдемо похідні окремих частин вашої функції:

\[ f(x) = 5x + 1 \] \[ f'(x) = \frac{d}{dx} (5x + 1) = 5 \]

\[ g(x) = x - 2 \] \[ g'(x) = \frac{d}{dx} (x - 2) = 1 \]

Підставимо знайдені похідні у формулу для похідної частки:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{5x + 1}{x - 2} \right) = \frac{5 \cdot (x - 2) - (5x + 1) \cdot 1}{(x - 2)^2} \] \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{5x + 1}{x - 2} \right) = \frac{5x - 10 - 5x - 1}{(x - 2)^2} \] \[ \frac{d}{dx} \left( \frac{5x + 1}{x - 2} \right) = \frac{-11}{(x - 2)^2} \]

Отримали вираз для похідної функції \( y' = \frac{-11}{(x - 2)^2} \). Тепер можемо знайти значення похідної в точці \( x_0 = 1 \):

\[ x_0 = 1 \] \[ y'(1) = \frac{-11}{(1 - 2)^2} = \frac{-11}{1} = -11 \]

Отже, значення похідної функції \( y' \) в точці \( x = 1 \) дорівнює -11.