Question

5. В круг вписан правильный шестиугольник. Найти вероятность того, что точка. Иаудачу брошенная в круг. не попадёт в правильный шестиугольник, вписанный в него.

Answer 1

Пусть круг радиуса r. Тогда его площадь S =

$\pi {r}^{2}$

Площадь шестиугольника, вписанного в круг радиуса r будет немного меньше. Если провести шесть радиусов из центра круга в каждую вершину, то получится 6 правильных треугольников со стороной r. Их суммарная площадь будет равна

$6 \times \frac{ {r}^{2} \sqrt{3} }{4} = \frac{3 \sqrt{3} }{2} \times {r}^{2}$

Тогда вероятность того, что точка попадет в шестиугольник, равна отношению площади шестиугольника к площади круга, а вероятность того, что не попадет - это просто разность 1 и значения вероятности попадания.

$1 - \frac{3 \sqrt{3} {r}^{2} }{2 \times \pi {r}^{2} } = 1 - \frac{3 \sqrt{3} }{2\pi}$

Это и есть ответ

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте рассмотрим геометрические особенности задачи. Пусть \( P \) - это вероятность того, что точка, брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в этот круг.

1. Общие соображения: - Вероятность события всегда лежит в пределах от 0 до 1, где 0 - событие невозможно, а 1 - событие обязательно произойдет.

2. Вписанный правильный шестиугольник: - Правильный шестиугольник можно разделить на шесть равных секторов, каждый из которых составляет угол \(60^\circ\). - Вершины шестиугольника являются серединами сторон вписанного круга, а радиус круга равен расстоянию от центра к краю шестиугольника.

3. Точка не попадет в шестиугольник: - Если точка случайным образом бросается в круг, она не попадет в шестиугольник, если она оказывается в одном из секторов между вершинами шестиугольника.

4. Нахождение вероятности: - Весь круг разбивается на шесть равных частей, каждая из которых соответствует одному из секторов между вершинами шестиугольника. - Вероятность того, что точка не попадет в шестиугольник, равна отношению меры угла сектора между вершинами круга к полному углу в круге, т.е. \( \frac{60^\circ}{360^\circ} = \frac{1}{6} \).

Таким образом, вероятность того, что точка, брошенная в круг, не попадет в правильный шестиугольник, вписанный в этот круг, равна \( \frac{1}{6} \).