Question

Упростите уравнение cos4a-sin4a*ctg2a ПОЖАЛУЙСТА СРОЧНО! ДАЮ 100 БАЛЛОВ​

Answer 1

Відповідь:

3cos^4(a) - cos^2(a) - cos^6(a)

Пояснення:

За допомогою тригонометричних тотожностей ми можемо переписати ctg^2(a) як 1/tan^2(a):

cos^4(a) - sin^4(a) * (1/tan^2(a))

Також можемо переписати sin^4(a) як (1 - cos^2(a))^2:

cos^4(a) - (1 - cos^2(a))^2 * (1/tan^2(a))

Тепер давайте замінимо 1/tan^2(a) на cos^2(a):

cos^4(a) - (1 - cos^2(a))^2 * cos^2(a)

Розкриємо дужки в другому доданку:

cos^4(a) - (1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)) * cos^2(a)

Розкриємо дужки в другому доданку:

cos^4(a) - cos^2(a) + 2cos^4(a) - cos^6(a)

Тепер згрупуємо подібні члени:

3cos^4(a) - cos^2(a) - cos^6(a)

Отримали спрощений вираз:

3cos^4(a) - cos^2(a) - cos^6(a).

Answer 2

Для упрощения уравнения cos4a - sin4a * ctg2a сначала мы можем использовать тригонометрические тождества для преобразования выражений.

Косинус и синус четвертой степени могут быть записаны следующим образом:

cos^4(a) = (cos^2(a))^2 = (1 - sin^2(a))^2 = 1 - 2sin^2(a) + sin^4(a) sin^4(a) = (1 - cos^2(a))^2 = 1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)

Тангенс удвоенного угла также может быть записан в терминах синуса и косинуса:

ctg(2a) = 1/tan(2a) = 1/(2tan(a)/1-tan^2(a)) = (1 - tan^2(a))/2tan(a) = (1 - sin^2(a)/cos^2(a))/(2sin(a)/cos(a)) = cos(a) - sin^2(a)/2sin(a)

Теперь мы можем подставить преобразованные выражения в наше исходное уравнение:

cos4a - sin4a * ctg2a = (1 - 2sin^2(a) + sin^4(a)) - (1 - 2cos^2(a) + cos^4(a)) * (cos(a) - sin^2(a)/2sin(a))

Раскрывая скобки, получаем:

1 - 2sin^2(a) + sin^4(a) - cos(a) + sin^2(a)/2 = 1 - cos(a) - 2sin^2(a) + sin^4(a) + sin^2(a)/2

Теперь объединим подобные слагаемые и упростим выражение:

1 - cos(a) - 2sin^2(a) + sin^4(a) + sin^2(a)/2 = sin^4(a) - 2sin^2(a) + 1/2sin^2(a) - cos(a) + 1

Сгруппируем слагаемые:

sin^4(a) - 2sin^2(a) + 1/2sin^2(a) + 1 - cos(a)

Далее, мы можем заметить, что sin^4(a) - 2sin^2(a) + 1/2sin^2(a) может быть упрощено с использованием квадратного трехчлена:

sin^4(a) - 2sin^2(a) + 1/2sin^2(a) = (sin^2(a) - 1)^2 + 1/2sin^2(a) - 1

Подставляем это обратно в наше выражение:

(sin^2(a) - 1)^2 + 1/2sin^2(a) - 1 - cos(a) + 1

Объединяем подобные слагаемые и упрощаем:

(sin^2(a) - 1)^2 + 1/2sin^2(a) - cos(a)

Это представляет упрощенное уравнение cos4a - sin4a * ctg2a.