Question

Доказать тождество sin4a+cos4a*ctg2a=ctg2a

Answer 1

$\displaystyle sin4a+cos4a*ctg2a=2sin2a*cos2a+cos4a*\frac{cos2a}{sin2a}=\\\\=cos2a(2sin2a+\frac{cos^22a-sin^22a}{sin2a})=cos2a*(\frac{2sin^22a+cos^22a-sin^22a}{sin2a})=\\\\=\frac{cos2a*(sin^22a+cos^22a)}{sin2a}= \frac{cos2a*1}{sin2a}=ctg2a$

Answer 2

Для доказательства данного тождества, мы можем воспользоваться тригонометрическими идентичностями. Давайте начнем с левой стороны:

sin^4(a) + cos^4(a) * ctg^2(a)

Сначала мы можем выразить ctg^2(a) через другие тригонометрические функции. Напомним, что ctg(a) = 1/tan(a), и tan(a) = sin(a) / cos(a):

ctg^2(a) = (1/tan(a))^2 = (1/(sin(a) / cos(a)))^2 = (cos(a)/sin(a))^2

Теперь мы можем заменить ctg^2(a) в исходном выражении:

sin^4(a) + cos^4(a) * (cos^2(a) / sin^2(a))

Далее мы можем воспользоваться тригонометрической идентичностью sin^2(a) + cos^2(a) = 1, чтобы выразить sin^2(a) через cos^2(a):

sin^2(a) = 1 - cos^2(a)

Теперь заменяем sin^2(a) в исходном выражении:

(1 - cos^2(a))^2 + cos^4(a) * (cos^2(a) / (1 - cos^2(a)))

Раскроем первое слагаемое в скобках:

1 - 2cos^2(a) + cos^4(a) + cos^4(a) * (cos^2(a) / (1 - cos^2(a)))

Теперь вынесем общий множитель cos^4(a):

cos^4(a) * [1 + cos^2(a) * (cos^2(a) / (1 - cos^2(a))) - 2]

Далее упростим выражение в скобках:

cos^2(a) / (1 - cos^2(a)) = cos^2(a) / sin^2(a) = (cos(a)/sin(a))^2 = ctg^2(a)

Теперь подставим это значение обратно в наше выражение:

cos^4(a) * [1 + ctg^2(a) * cos^2(a) - 2]

Теперь раскроем скобки:

cos^4(a) + cos^4(a) * ctg^2(a) - 2cos^4(a)

Теперь объединим все слагаемые:

cos^4(a) - 2cos^4(a) + cos^4(a) * ctg^2(a)

Теперь видим, что среднее слагаемое -2cos^4(a) и слагаемое справа cos^4(a) * ctg^2(a) могут быть объединены:

-2cos^4(a) + cos^4(a) * ctg^2(a) = -cos^4(a) * (2 - ctg^2(a))

Таким образом, левая сторона исходного выражения равна:

cos^4(a) * (ctg^2(a) - 2)

Теперь мы видим, что левая сторона не равна ctg^2(a), следовательно, данное тождество неверно.