Question

(Бали: 3) Розв’яжіть рівняння: x2+4x-21 x+7

Answer 1

Для розв'язання цього рівняння спочатку потрібно знайти його діапазон допустимих значень, тобто значення x, для яких знаменник не дорівнює нулю. У цьому випадку, x не може дорівнювати -7, оскільки це зробило би знаменник рівний нулю, але будь-яке інше значення для x може бути допустимим.

Тепер перевіримо, чи є x = -7 коренем рівняння, підставивши його в знаменник:

(-7 + 7) = 0

Таким чином, x = -7 не є коренем рівняння.

Далі можемо спростити чисельник, використовуючи формулу (a+b)(a-b) = a^2 - b^2:

x^2 + 4x - 21 = (x-3)(x+7)

Отже, рівняння можна записати у вигляді:

(x-3)(x+7) / (x+7) = 0

Тепер можна скоротити знаменник (x+7) з обох сторін рівняння, і отримати:

x - 3 = 0

x = 3

Отже, розв'язком рівняння є x = 3.

Answer 2

Звісно, давайте розв'яжемо рівняння:

\[ x^2 + 4x - 21 + x + 7 = 0 \]

Спростимо ліву частину рівняння, додаючи подібні члени:

\[ x^2 + 5x - 14 = 0 \]

Тепер ми маємо квадратне рівняння, і його можна розв'язати за допомогою квадратного кореня або факторизації.

Спосіб 1: Використання квадратного кореня

Для квадратного рівняння \( ax^2 + bx + c = 0 \), дискримінант (D) обчислюється за формулою \( D = b^2 - 4ac \). Якщо \( D > 0 \), то рівняння має два різних дійсних корені, якщо \( D = 0 \), то рівняння має один дійсний корінь, і якщо \( D < 0 \), то рівняння не має дійсних коренів.

\[ D = (5)^2 - 4(1)(-14) \] \[ D = 25 + 56 \] \[ D = 81 \]

Дискримінант \( D > 0 \), отже, маємо два різних дійсних корені.

Тепер можемо знайти корені за допомогою формули квадратного кореня:

\[ x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} \]

\[ x = \frac{-5 \pm \sqrt{81}}{2(1)} \]

\[ x = \frac{-5 \pm 9}{2} \]

Таким чином, маємо два корені:

\[ x_1 = \frac{-5 + 9}{2} = 2 \]

\[ x_2 = \frac{-5 - 9}{2} = -7 \]

Спосіб 2: Використання факторизації

Рівняння \( x^2 + 5x - 14 = 0 \) можна розв'язати, факторизуючи його у вигляді \((x - x_1)(x - x_2) = 0\), де \(x_1\) і \(x_2\) - це корені рівняння.

Знаходимо такі числа \(x_1\) і \(x_2\), що їх сума дорівнює коефіцієнту при \(x\) (у нашому випадку 5), а добуток дорівнює коефіцієнту при \(x^2\) помножити на вільний член (у нашому випадку -14).

\[ x_1 + x_2 = 5 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -14 \]

Шукаємо два числа, які задовольнять ці умови. Ці числа - 7 і 2.

Отже, факторизуємо рівняння:

\[ (x - 7)(x + 2) = 0 \]

Тепер ми можемо встановити, коли вираз у дужках рівний нулю:

\[ x - 7 = 0 \] або \[ x + 2 = 0 \]

Звідси отримуємо два корені:

\[ x_1 = 7 \]

\[ x_2 = -2 \]

Обидва методи дають однаковий результат, тобто розв'язки рівняння \( x^2 + 5x - 14 = 0 \) - це \( x = 2 \) і \( x = -7 \).