Question

1)sin²2x-cos(π/3-2x)•sin(2x-π/6)=1/42)1+2cos2x-4cos(π/6+x)•cos(π/6-x)=0​

Answer 1

Докажите тождества :

1)sin²2x-cos(π/3-2x)•sin(2x-π/6)=1/4

2)1+2cos2x-4cos(π/6+x)•cos(π/6-x)=0​

1.

$></p><p>Вспомним формулу приведения </p><p><img src=$ cos(90° -α) = sinα

Заметим , что

$\cos \bigg ( \dfrac{\pi }{3} -2x \bigg )=\cos \bigg ( \dfrac{\pi }{2} -\bigg (2x+\dfrac{\pi }{6}\bigg) \bigg )=\boxed{\sin \bigg (2x+\dfrac{\pi }{6} \bigg)}$

⇒

$></p><p>Воспользуемся формулой :</p><p><img src=$

$\displaystyle \sin \bigg (2x+\dfrac{\pi }{6} \bigg) \cdot \sin \bigg ( 2x-\frac{\pi }{6} \bigg ) =\\\\\\= \frac{1}{2 } \bigg ( \cos \Big ( 2x + \frac{\pi }{6}-2x +\frac{\pi }{6} \Big) - \cos \Big ( 2x + \frac{\pi }{6}+2x -\frac{\pi }{6} \Big) \bigg) = \frac{1}{2 } \cdot ( \cos 60^{\circ}-\cos 4x ) = \\\\\\\ = \boxed{\frac{1}{4} - \frac{\cos 4x }{2}}$

$></p><p></p><p><img src=$

$\displaystyle \dfrac{1 - \cos 4x}{2}-\bigg (\frac{1}{4} - \frac{\cos 4x }{2} \bigg ) = \frac{1}{4}\\\\\\ \frac{1 - \cos 4x}{2 }+ \frac{\cos 4x}{2} - \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \\\\\\ \frac{1}{2}- \frac{1}{4} = \frac{1}{4} \\\\\\\ \frac{1}{4} = \frac{1}{4} ~ \checkmark$

Доказано.

2.

$\displaystyle 1+ 2\cos 2x - 4\cos \bigg ( \frac{\pi }{6}+ x \bigg ) \cos \bigg ( \frac{\pi }{6}- x \bigg ) =0$

Воспользуемся формулой :
$\bullet ~ \cos \alpha \cdot \cos \beta = \dfrac{1}{2} \Big(\cos (\alpha -\beta ) + \cos (\alpha +\beta )\Big)$

$\displaystyle\cos \bigg ( \frac{\pi }{6}+ x \bigg ) \cos \bigg ( \frac{\pi }{6}- x \bigg ) = \frac{1}{2} \bigg ( \cos \Big ( \frac{\pi }{6}+ x - \frac{\pi }{6} + x\Big)+ \cos \Big ( \frac{\pi }{6}+ x + \frac{\pi }{6} - x\Big) \bigg ) = \\\\\\ = \frac{1}{2} \Big ( \cos 60^{\circ}+ \cos 2x \Big) = \frac{1}{4}+ \frac{\cos 2x }{2}$

⇒

$\displaystyle 1+ 2\cos 2x - 4 \bigg ( \frac{1}{4}+ \frac{\cos 2x }{2} \bigg ) =0 \\\\ 1 + 2\cos 2x - 1 - 2\cos 2x = 0 \\\\0 = 0$

Доказано.

Answer 2

Давайте рассмотрим каждое уравнение по очереди:

1) sin²(2x) - cos(π/3 - 2x) * sin(2x - π/6) = 1/4

Сначала мы можем упростить уравнение, используя тригонометрические идентичности:

sin(2x - π/6) = sin(2x)cos(π/6) - cos(2x)sin(π/6) = (1/2)sin(2x) - (√3/2)cos(2x)

Теперь подставим это обратно в исходное уравнение:

sin²(2x) - cos(π/3 - 2x) * [(1/2)sin(2x) - (√3/2)cos(2x)] = 1/4

Умножим оба члена на 4, чтобы избавиться от дроби:

4sin²(2x) - 4cos(π/3 - 2x) * [(1/2)sin(2x) - (√3/2)cos(2x)] = 1

Теперь раскроем произведение во втором члене:

4sin²(2x) - 2cos(π/3 - 2x)sin(2x) + 2√3cos(π/3 - 2x)cos(2x) = 1

Давайте теперь упростим уравнение, используя тригонометрические идентичности:

1. Используем формулу двойного угла для sin(2x): sin(2x) = 2sin(x)cos(x). 2. Используем формулу двойного угла для cos(2x): cos(2x) = cos²(x) - sin²(x).

Теперь уравнение будет выглядеть следующим образом:

4(2sin(x)cos(x))² - 2cos(π/3 - 2x)(2sin(x)cos(x)) + 2√3cos(π/3 - 2x)(cos²(x) - sin²(x)) = 1

Теперь сгруппируем члены уравнения:

8sin²(x)cos²(x) - 4sin(x)cos(x)cos(π/3 - 2x) + 2√3cos(x)(cos²(x) - sin²(x)) = 1

Теперь у нас есть квадратичное уравнение относительно sin(x) и cos(x). Выглядит сложно, не так ли? Но не переживайте, есть способ справиться с этим. Давайте заметим, что у нас есть два разных тригонометрических выражения: sin(x)cos(x) и cos(π/3 - 2x). Мы можем использовать формулы двойного угла и разложения, чтобы упростить это уравнение, но оно всё равно будет довольно сложным.

2) 1 + 2cos(2x) - 4cos(π/6 + x)cos(π/6 - x) = 0

Сначала упростим уравнение, используя тригонометрические идентичности:

1 + 2cos(2x) - 4(cos(π/6 + x)cos(π/6 - x))

Теперь используем формулы сложения и вычитания для косинусов:

cos(π/6 + x) = cos(π/6)cos(x) - sin(π/6)sin(x) = (√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x) cos(π/6 - x) = cos(π/6)cos(x) + sin(π/6)sin(x) = (√3/2)cos(x) + (1/2)sin(x)

Теперь подставим эти выражения в уравнение:

1 + 2cos(2x) - 4[(√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x)][(√3/2)cos(x) + (1/2)sin(x)] = 0

Теперь умножим оба члена на 4, чтобы избавиться от дробей:

4 + 8cos(2x) - 4[(√3/2)cos(x) - (1/2)sin(x)][(√3/2)cos(x) + (1/2)sin(x)] = 0

Давайте сгруппируем члены уравнения:

4 + 8cos(2x) - 4[(√3/2)cos(x)]² - (-1/2)²sin²(x) = 0

Теперь упростим еще больше:

4 + 8cos(2x) - 4(3/4)cos²(x) - 1/4sin²(x) = 0

Умножим оба члена на 4, чтобы избавиться от дробей:

16 + 32cos(2x) - 3cos²(x) - sin²(x) = 0

Теперь мы имеем уравнение относительно cos(x) и sin(x), которое можно решить с использованием различных методов, например, методом замены переменных или методом квадратного уравнения.