Question

Обчисліть площу фігури обмеженої параболою y=x^2+2x+2 і прямою у=2х+3

Answer 1

y=x²+2x+2

y=2x+3

x²+2x+2=2x+3

x²=1

x1=1

x2=-1

S=F2(x)-F1(x)=-1 ✓¹ 2х+3-х²-2х-2 dx=-1✓¹ 1-x²dx=(x-x³/3) -1 ]¹=(1-(1)³/3)-((-1)-(-1)³/3)=4/3

Answer 2

Щоб знайти площу фігури, обмеженої параболою та прямою, спочатку потрібно знайти точки їх перетину. Перш ніж обчислити точки перетину, прирівняємо рівняння параболи та прямої:

1. Рівняння параболи: \(y = x^2 + 2x + 2\) 2. Рівняння прямої: \(y = 2x + 3\)

Прирівняємо обидві вирази та розв'яжемо рівняння:

\[ x^2 + 2x + 2 = 2x + 3 \]

Після віднімання \(2x\) та віднімання 3 отримаємо:

\[ x^2 = 1 \]

Розв'язавши це квадратне рівняння, маємо два корені:

\[ x = 1 \] або \( x = -1 \)

Тепер, щоб знайти відповідні значення \(y\), підставимо ці значення \(x\) у рівняння параболи:

1. Для \( x = 1 \):

\[ y = 1^2 + 2 \cdot 1 + 2 = 5 \]

Точка перетину для \(x = 1\) - \(y = 5\).

2. Для \( x = -1 \):

\[ y = (-1)^2 + 2 \cdot (-1) + 2 = 3 \]

Точка перетину для \(x = -1\) - \(y = 3\).

Отже, ми отримали дві точки перетину параболи та прямої: \((1, 5)\) та \((-1, 3)\).

Тепер ми можемо обчислити площу фігури, обмеженої параболою та прямою, використовуючи інтеграл:

\[ S = \int_{-1}^{1} [(x^2 + 2x + 2) - (2x + 3)] \,dx \]

Виконавши обчислення інтегралу, отримаємо площу фігури, обмеженої заданими кривими.