Question

Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² - 4х + 4, прямой у = 4х - 3 и осью абсцисс. Решение предусматривает развернутую обоснованный ответ - записаны последовательные логические действия и объяснения со ссылкой на математические факты, из которых следует то или иное утверждение, при необходимости - проиллюстрировано схемами, графиками, таблицами. ( Обчисліть площу фігури, обмеженої параболою у = х² – 4х + 4, прямою у = 4х – 3 та віссю абсцис. Розв’язання передбачає розгорнуту обґрунтовану відповідь – записані послідовні логічні дії та пояснення з посиланням на математичні факти, з яких випливає те чи інше твердження, при необхідності - проілюстровано схемами, графіками, таблицями. )

Answer 1

$\displaystyle y=x^2-4x+4=(x-2)^2$ , что то же самое что график $\displaystyle y=x^2$ , который сдвинут на 2 единицы вправо.

$\displaystyle y=4x-3$ - прямая, достаточно взять 2 точки к примеру x=0 тогда y=4 * 0-3 = - 3 и x = 1 тогда y= 4 * 1 - 3 = 1

Точки (x;y)=(0;-3),(1;1)

Построим графики (фото)

Найдем точки пересечения графиков

$\displaystyle x^2-4x+4=4x-3\\\\x^2-8x+7=0\\\\x_1=1\\x_2=7$

Тогда по правилу нахождения площади фигуры, мы должны взять определенный интеграл в точках пересечения фигур и от верхней функции отнять нижнюю:

$\displaystyle S=\int\limits^7_1 {4x-3-x^2+4x-4} \, dx =\int\limits^7_1 {-x^2+8x-7} \, dx =(4x^2-7x-\frac{x^}{3})\mid^7_1=\\\\\\=4*7^2-7*7-\frac{7^3}{3}-(4*1^2-7*1-\frac{1^3}{3})=147-\frac{7^3}{3}-(-\frac{10}{3})=\\\\\\=\frac{451}{3}-\frac{343}{3} =\frac{108}{3}=36$

Answer 2

Для вычисления площади фигуры, ограниченной параболой у = х² - 4х + 4, прямой у = 4х - 3 и осью абсцисс, мы сначала найдем точки их пересечения, а затем определим интеграл, который будет представлять площадь под кривыми. Давайте выполним это последовательно.

1. Найдем точки пересечения параболы и прямой, решив систему уравнений:

   Подставим уравнение прямой в уравнение параболы: 4х - 3 = х² - 4х + 4

   Переносим все члены в одну сторону: х² - 8х + 7 = 0

   Решим это квадратное уравнение с помощью дискриминанта: Дискриминант D = (-8)² - 4 * 1 * 7 = 64 - 28 = 36

   Так как D > 0, у уравнения есть два различных корня: х₁ = (8 + √36) / 2 = 5 х₂ = (8 - √36) / 2 = 3

   Теперь найдем соответствующие значения y для каждой из x в уравнении прямой: y₁ = 4 * 5 - 3 = 17 y₂ = 4 * 3 - 3 = 9

2. Теперь посмотрим на график, чтобы понять, какие части фигуры нам нужно учесть:

   График параболы у = х² - 4х + 4 и прямой у = 4х - 3:

   markdownCopy code
     |   *            *       *
   y |        *        * 
     |__*_____*_____*_____*_____*__
         3     5     7     9    11   x
   

   Из графика видно, что фигура ограничена параболой снизу, прямой сверху и осью абсцисс слева и справа.

3. Теперь мы можем вычислить площадь фигуры, используя определенный интеграл:

   Площадь = ∫(от a до b) (верхняя функция - нижняя функция) dx

   В данном случае, верхняя функция - это у = 4х - 3, а нижняя функция - это у = х² - 4х + 4. Границы интегрирования будут от x = 3 до x = 5.

   Площадь = ∫(от 3 до 5) (4х - 3 - (х² - 4х + 4)) dx

   Упростим выражение: Площадь = ∫(от 3 до 5) (5х - х² - 1) dx

   Посчитаем интеграл: Площадь = [ 5x²/2 - x³/3 - x ](от 3 до 5) Площадь = [ 25/2 - 125/3 - 5 ] - [ 45/2 - 27/3 - 3 ] Площадь = 25/2 - 125/3 - 5 - 45/2 + 27/3 + 3

   Вычислив значения, получаем: Площадь = -67/6

Итак, площадь фигуры, ограниченной параболой у = х² - 4х + 4, прямой у = 4х - 3 и осью абсцисс, составляет -67/6 квадратных единиц.