Question

Угол между высотой и биссектрисой, проведенными из вершины прямого угла прямоугольного треугольника, равен 80. Найдите острые углы треугольника.

Answer 1

Ответ:

Решение с расчетом, если угол между высотой и биссектрисой равен 8°

37°, 53°

Объяснение:

Дано: ΔАВС

∠ВАС=90°,

АД-высота  , АЕ-биссектриса ∠А

∠ДАЕ=8°

Найти: ∠АВС-? ∠ВСА-?

Решение:

1. Рассмотрим Δ АДЕ:

∠АДЕ =90° (т.к. АД - высота)

∠ДАЕ =8° (по условию)

Следовательно, ∠ДЕА= 180°-∠АДЕ-∠ДАЕ

∠ДЕА=180°-90°-8°=82°

2. Рассмотрим Δ АЕС

∠ ЕАС=$\frac{1}{2}$ ∠ВАС = 90°:2=45° (т.к. АЕ- биссектриса)

∠АЕС=180°-∠ДЕА=180°-82°=98° (т.к.∠ ДЕА и ∠АЕС - смежные углы )

∠ВСА= 180°-∠ЕАС-∠АЕС=180°-45°-98°=37°

3. Рассмотрим Δ АВС

∠ВАС=90° (по условию)

∠ВСА=37°

∠АВС=180°-∠ВАС-∠ВСА=180°-90°-37°=53°

Ответ ∠АВС=53°, ∠ВСА=37°

Answer 2

Пусть ABC - прямоугольный треугольник, где угол BAC = 90°, а высота и биссектриса проведены из вершины A. По условию, угол между высотой и биссектрисой равен 80°.

Так как треугольник ABC прямоугольный, угол CAB (при вершине A) будет равен 90°.

Пусть D - точка пересечения высоты и биссектрисы. Тогда угол BAD равен половине меры угла BAC, так как AD - биссектриса треугольника ABC. Значит, угол BAD = 90° / 2 = 45°.

Теперь у нас есть два угла треугольника: CAB = 90° и BAD = 45°. Чтобы найти третий угол, можно воспользоваться тем, что сумма углов треугольника равна 180°.

Таким образом, сумма углов треугольника ABC равна 90° + 45° + угол B = 135° + угол B = 180°. Отсюда угол B = 180° - 135° = 45°.

Итак, острые углы треугольника ABC равны: CAB = 90°, BAD = 45° и угол B = 45°.