Question

Знайдіть критичні точки функції у=5x^3+x^2 Для цієї ж функції визначте проміжки монотонності(зростання та спадання)​.​

Answer 1

У'=
(Х^2-5х)'(Х+4)-(х^2-5х)
*(Х+4)' / (Х+4)^2
(2х-5)(Х+4)-(х^2-5х)*1
(Х+4)^2
(2х^2+8х-5х-20-х^2+5х)/ (Х+4)^2=
3х^2+8х-20
(Х+4)^2

Answer 2

Для знаходження критичних точок функції та визначення проміжків монотонності, спочатку треба знайти похідну функції, а потім знайти значення x, при яких похідна дорівнює нулю або не існує.

Пошук критичних точок:

Критичні точки - це значення x, при яких похідна функції дорівнює нулю або не існує. Для цього знайдемо похідну функції у(x) = 5x^3 + x^2.

Знайдемо похідну функції:

Для цього використаємо правило диференціювання степеневої функції та суми функцій: у'(x) = 3 * 5x^(3-1) + 2 * x^(2-1) = 15x^2 + 2x.

Знайдемо значення x, при яких у'(x) = 0:

15x^2 + 2x = 0.

Щоб розв'язати це рівняння, можна застосувати факторизацію або використовувати квадратне рівняння.

Факторизація:

15x^2 + 2x = x(15x + 2) = 0.

Отже, ми маємо два випадки: 1. x = 0. 2. 15x + 2 = 0 ⇒ x = -2/15.

Ці значення x є критичними точками функції.

Визначення проміжків монотонності:

Проміжки монотонності - це проміжки значень x, на яких функція зростає або спадає.

Визначення зростання та спадання:

Для цього треба вивчити знаки похідної функції у'(x) на різних проміжках.

Визначення знаків похідної:

1. Для x < -2/15: Підставимо довільне значення x < -2/15 у функцію у'(x). Наприклад, x = -1. у'(-1) = 15(-1)^2 + 2(-1) = 15 - 2 = 13. Значення у'(-1) > 0, тому функція у(x) зростає на цьому проміжку. 2. Для -2/15 < x < 0: Підставимо довільне значення x з цього проміжку у функцію у'(x). Наприклад, x = -1/2. у'(-1/2) = 15(-1/2)^2 + 2(-1/2) = 15/4 - 1 = 11/4. Значення у'(-1/2) > 0, тому функція у(x) зростає на цьому проміжку. 3. Для x > 0: Підставимо довільне значення x > 0 у функцію у'(x). Наприклад, x = 1. у'(1) = 15(1)^2 + 2(1) = 15 + 2 = 17. Значення у'(1) > 0, тому функція у(x) зростає на цьому проміжку.

Отже, функція у(x) зростає на проміжку (-∞, -2/15) та (0, +∞).

Відповідь:

Критичні точки функції у(x) = 5x^3 + x^2: x = 0 і x = -2/15. Проміжки монотонності функції у(x) = 5x^3 + x^2: (-∞, -2/15) та (0, +∞).