Question

Найдите общее решение дифференциального уравнения у ' =у (х+2) и укажите его частное решение удовольстворяющее начальному условию у (0) = 2 ​

Answer 1

Ответ:

В Объяснениях.

Объяснение:

y' = y(x+2); y(0) = 2

dy/dx = y(x+2)

dy/y = (x+2) dx

Интегрируем:

ln y = x²/2 + 2x + ln C

y = C*e^(x²/2 + 2x) - это общее решение.

y(0) = 2 - подставляем эти данные в функцию, находим С:

2 = C*e^(0 + 0) = C*e^0 = C

C = 2

y = 2e^(x²/2 + 2x) - это частное решение.

Answer 2

Для начала, рассмотрим общее решение данного дифференциального уравнения.

Уравнение имеет вид у' = у(х + 2). Для его решения, воспользуемся методом разделения переменных.

Разделим уравнение на у(х + 2):

(1/у) у' = 1/(х + 2).

Проинтегрируем обе части уравнения по переменной x:

∫(1/у) у' dx = ∫(1/(х + 2)) dx.

Получим:

ln|у| = ln|х + 2| + C,

где С - произвольная постоянная.

Избавимся от натурального логарифма:

|у| = |х + 2| * e^C.

Так как постоянная e^C > 0, перепишем выражение без модуля:

у = (х + 2) * e^C,

где e^C - положительная константа.

Теперь найдем частное решение, удовлетворяющее начальному условию у(0) = 2.

Подставим x = 0 и у = 2 в уравнение и решим его относительно постоянной e^C:

2 = (0 + 2) * e^C,

2 = 2e^C,

e^C = 1,

C = ln(1) = 0.

Таким образом, particular solution (частное решение) для данного дифференциального уравнения у' = у(х + 2) и начального условия у(0) = 2 равно:

у = (х + 2) * e^0,

у = х + 2.