Question

Дослідіть функцію f(x)=30x-30/x^2+15та побудуйте її графік​

Answer 1

Ответ:

y=x²+15

xE R

yE [15,+∞

Це точно графік

Answer 2

Давайте розглянемо функцію \( f(x) = \frac{30x - 30}{x^2 + 15} \) та побудуємо її графік.

1. Область визначення: Функція визначена для будь-якого значення \( x \), оскільки у знаменнику \( x^2 + 15 \) немає значень \( x \), при яких ділення було би неможливим.

2. Нулі функції: Розв'язавши рівняння \( 30x - 30 = 0 \), отримаємо \( x = 1 \) як єдиний нуль участі чисельника функції.

3. Горизонтальні та вертикальні асимптоти: Давайте розглянемо обидва члени функції окремо. - Член \(30x\): Немає горизонтальних асимптот, оскільки ступінь чисельника менший, ніж ступінь знаменника. - Член \(-\frac{30}{x^2 + 15}\): Знаменник \(x^2 + 15\) може стати дуже великим, тому у міру зростання \(|x|\) дріб зближатиметься до нуля, і функція матиме вертикальну асимптоту при \(x = \pm \infty\).

4. Знак функції: Розглядаючи чисельник і знаменник, можна побачити, що функція буде додатною при \( x < 1 \) та \( x > 1 \) і від'ємною при \( 0 < x < 1 \).

5. Побудова графіка: Щоб побудувати графік, можна скористатися програмами для графічного представлення функцій, такими як Desmos, GeoGebra або Python з бібліотекою matplotlib.

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

# Визначення функції
def f(x):
    return (30 * x - 30) / (x**2 + 15)

# Значення x
x = np.linspace(-10, 10, 400)
# Значення y
y = f(x)

# Побудова графіка
plt.figure(figsize=(8, 6))
plt.plot(x, y, label=r'$f(x)=\frac{30x - 30}{x^2 + 15}$')
plt.axhline(0, color='black',linewidth=0.5)
plt.axvline(1, color='red', linestyle='--', label='Vertical Asymptote at $x=1$')
plt.title('Графік функції $f(x)$')
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('f(x)')
plt.legend()
plt.grid(True)
plt.show()

На графіку ви побачите, що функція має вертикальну асимптоту при \( x = 1 \) і веде себе відповідно до аналізу, який ми провели.