Question

Указати первісну функцію для функції f(x) = tg²x.​

Answer 1

Ответ:

F(x)= tgx-x вроде так

Объяснение:

Answer 2

Первообразной функции f(x) = tg²x является F(x) = x - (1/2)tg(2x) + C, где C - произвольная постоянная. Для доказательства этого рассмотрим производную функции F(x):

F'(x) = 1 - (1/2)[(sec²(2x))(2)] = 1 - sec²(2x)

Так как tg²x = sec²x - 1, то tg²(2x) = sec²(2x) - 1. Подставим это в производную F'(x):

F'(x) = 1 - (sec²(2x) - 1) = 1 - sec²(2x) + 1 = 2 - sec²(2x)

Заметим, что sec²(2x) = 1/cos²(2x), так как sec(2x) = 1/cos(2x). Подставим это в F'(x):

F'(x) = 2 - 1/cos²(2x) = (2cos²(2x) - 1)/cos²(2x)

Мы знаем, что cos²(2x) = 1 - sin²(2x). Подставим это в F'(x):

F'(x) = (2(1 - sin²(2x)) - 1)/(1 - sin²(2x)) = (2 - 2sin²(2x) - 1)/(1 - sin²(2x)) = (1 - 2sin²(2x))/(1 - sin²(2x))

Так как sin²(2x) = (1 - cos(4x))/2, то:

F'(x) = (1 - 2(1 - cos(4x))/2)/(1 - (1 - cos(4x))/2) = (1 - 2 + 2cos(4x))/(1 - 1 + cos(4x)/2) = (2cos(4x) - 1)/(cos(4x)/2) = 2 - 1/cos(4x) = 2 - sec(4x)

Как видно, производная F'(x) отличается от функции f(x) = tg²x только на константу 2. Поэтому F(x) = x - (1/2)tg(2x) + C является первообразной для функции f(x) = tg²x.