Question

Знайти абсциси точок перетину графіків функцій: 1) у = lg (x 2 + 3x) і y = lg (x + 3). 2) у = lg (x 2 + 2x) і y = lg (x + 2).

Answer 1

Знайти абсциси точок перетину графіків функцій:

1) у = lg (x 2 + 3x) і y = lg (x + 3).

2) у = lg (x 2 + 2x) і y = lg (x + 2).

Решение:

1)  lg (x 2 + 3x) = lg (x + 3)

(x<-3 x>0) ∩x>-3 = x>0

ОДЗ x>0

lg (x 2 + 3x) - lg (x + 3)=0

lg(x²+3x)/(x+3))=0

lgx=0

x=1

2) у = lg (x 2 + 2x) і y = lg (x + 2).

ОДЗ х>0

lg(x²+2x)-lg(x+2)=0

lgx=0

x=1

Answer 2

Для розв'язання цього завдання ми шукаємо значення x, при яких графіки функцій перетинаються. Щоб знайти ці точки перетину, нам потрібно прирівняти функції до однакового значення і розв'язати рівняння.

Розв'язання першого рівняння:

1) $у = \log(x+2+3x)$ 2) $y = \log(x+3)$

Щоб знайти точки перетину, прирівняємо обидві функції: $\log(x+2+3x) = \log(x+3)$

Тепер використовуємо властивість логарифмів, яка стверджує, що $\log(a) = \log(b)$, тоді і тільки тоді, коли $a = b$. Застосуємо цю властивість до нашого рівняння:

$x+2+3x = x+3$

Розв'язуємо це рівняння для x:

$4x+2 = x+3$

$4x - x = 3 - 2$

$3x = 1$

$x = \frac{1}{3}$

Тепер підставимо значення x у будь-яку з функцій, наприклад, в першу:

$y = \log(\frac{1}{3}+2+3(\frac{1}{3}))$

$y = \log(\frac{1}{3}+2+1)$

$y = \log(\frac{1}{3}+3)$

$y = \log(\frac{10}{3})$

$y \approx 0.523$

Таким чином, перша точка перетину графіків цих двох функцій має координати (x, y) приблизно рівні ($\frac{1}{3}$, 0.523).

Розв'язання другого рівняння:

1) $y = \log(x+2+2x)$ 2) $y = \log(x+2)$

Прирівняємо обидві функції: $\log(x+2+2x) = \log(x+2)$

Застосуємо властивість логарифмів:

$x+2+2x = x+2$

$3x+2 = x+2$

$3x - x = 2 - 2$

$2x = 0$

$x = 0$

Підставимо значення x у будь-яку з функцій, наприклад, у другу:

$y = \log(0+2)$

$y = \log(2)$

$y \approx 0.301$

Таким чином, друга точка перетину графіків цих двох функцій має координати (x, y) приблизно рівні (0, 0.301).

Отже, точки перетину графіків функцій у = lg(x+2+3x) та у = lg(x+3) знаходяться приблизно в точках ($\frac{1}{3}$, 0.523) та (0, 0.301) відповідно.

Answer 3

Щоб знайти абсциси точок перетину графіків функцій, спочатку рівняємо їхні вирази одне одному і шукаємо значення \(x\), а потім знаходимо відповідні значення \(y\).

1) \(y = \log_{10}(x+2+3x)\) та \(y = \log_{10}(x+3)\)

Спочатку прирівняємо обидва вирази:

\(\log_{10}(x+2+3x) = \log_{10}(x+3)\)

Тепер розв'яжемо це рівняння:

\(\log_{10}(4x+2) = \log_{10}(x+3)\)

Якщо логарифми з однаковою основою рівні, то їхні аргументи теж рівні:

\(4x+2 = x+3\)

\(4x - x = 3 - 2\)

\(3x = 1\)

\(x = \frac{1}{3}\)

Отже, \(x = \frac{1}{3}\). Тепер знайдемо значення \(y\):

\(y = \log_{10}\left(\frac{1}{3}+2+3 \cdot \frac{1}{3}\right) = \log_{10}(3) = 0.4771\)

Таким чином, точка перетину графіків цих функцій має абсцису \(x = \frac{1}{3}\) і ординату \(y = 0.4771\).

2) \(y = \log_{10}(x+2+2x)\) та \(y = \log_{10}(x+2)\)

Прирівняємо обидва вирази:

\(\log_{10}(x+2+2x) = \log_{10}(x+2)\)

Тепер розв'яжемо це рівняння:

\(\log_{10}(3x+2) = \log_{10}(x+2)\)

Якщо логарифми з однаковою основою рівні, то їхні аргументи теж рівні:

\(3x+2 = x+2\)

\(3x - x = 2 - 2\)

\(2x = 0\)

\(x = 0\)

Отже, \(x = 0\). Тепер знайдемо значення \(y\):

\(y = \log_{10}(0+2+2 \cdot 0) = \log_{10}(2) = 0.3010\)

Таким чином, точка перетину графіків цих функцій має абсцису \(x = 0\) і ординату \(y = 0.3010\).

Отже, абсциси точок перетину графіків заданих функцій дорівнюють \(x = \frac{1}{3}\) та \(x = 0\).