Question

Найдите точки экстремума функции f(x)=0,25x^2-9x, f(x)=x^3-16x+2

Answer 1

Ответ:

1) точка x₀ = 18 точка минимума функции

2) точка    $\displaystyle \boldsymbol { x_1=\frac{4\sqrt{3} }{3}}$       - точка минимума функции

точка        $\displaystyle \boldsymbol { x_2=-\frac{4\sqrt{3} }{3}}$   - точка максимума функции

Объяснение:

Необходимый признак существования экстремума функции

Теорема Ферма  

• Если точка x₀ - точка экстремума функции f(x), то в этой точке производная функции равна нулю f'(x₀) = 0  или не существует.

Первый достаточный признак существования экстремума функции

• Критическая точка x₀ является точкой экстремума функции f(x), если при переходе через эту точку производная функции меняет знак, причём, если знак меняется с "плюса" на "минус", то точкой максимума, а если с "минуса" на "плюс", то точкой минимума

Второй достаточный признак максимума функции.

• Если f(x) имеет непрерывную вторую производную в окрестности точки х₀, и

• ⸎  f''(х₀)  < 0, то  х₀ -  точка максимума
• ⸎  f''(х₀) > 0, то х₀ -  точка минимума

1.   f(x)=0,25x² - 9x

Находим производную

f'(x)=(0,25x² - 9x) = 0,5x -9

Приравниваем ее к нулю

0,5x - 9 = 0

x₁ = 18 -критическая точка

Вычисляем значения функции

f(18) = ( -81)

здесь нам удобно использовать второй  достаточный признак экстремума функции.

Найдем вторую производную

f''(x) = 0,5

f''(18) = 0.5 > 0 - значит точка x₀ = 18 точка минимума функции.

2.  f(x)=x³ - 16x + 2

Первая производная функции

f'(x) = 3x² - 16

Приравняем к 0

3x² - 16 = 0

х² = 16/3

$\displaystyle x_1=\frac{4}{\sqrt{3} } =\frac{4\sqrt{3} }{3} \\\\\\x_2=-\frac{4}{\sqrt{3} } =-\frac{4\sqrt{3} }{3}$   - это критические точки.

Находим вторую производную

f''(x) = 6x

$\displaystyle f''\bigg(\frac{4\sqrt{3} }{3}\bigg ) = \frac{6*4\sqrt{3} }{3} =8\sqrt{3} \quad > 0,$   -  это точка минимума функции

$\displaystyle f''\bigg(-\frac{4\sqrt{3} }{3}\bigg ) = -\frac{6*4\sqrt{3} }{3} =(-8\sqrt{3}) \quad < 0,$   - это точка максимума функции

Answer 2

Для нахождения точек экстремума функции, сначала найдем ее производную и приравняем ее к нулю.

Для функции f(x) = 0.25x^2 - 9x:

f'(x) = 0.5x - 9

Приравниваем производную к нулю:

0.5x - 9 = 0

0.5x = 9

x = 9 / 0.5

x = 18

Теперь найдем значение функции f(x) в точке x = 18:

f(18) = 0.25 * 18^2 - 9 * 18

f(18) = 0.25 * 324 - 162

f(18) = 81 - 162

f(18) = -81

Таким образом, точка экстремума функции f(x) = 0.25x^2 - 9x находится в точке (18, -81), где функция достигает минимума.

Для функции f(x) = x^3 - 16x + 2:

f'(x) = 3x^2 - 16

Приравниваем производную к нулю:

3x^2 - 16 = 0

3x^2 = 16

x^2 = 16 / 3

x = ±sqrt(16 / 3)

x ≈ ±2.3094

Теперь найдем значения функции f(x) в точках x ≈ ±2.3094:

f(2.3094) ≈ (2.3094)^3 - 16 * 2.3094 + 2 ≈ -21.6468

f(-2.3094) ≈ (-2.3094)^3 - 16 * (-2.3094) + 2 ≈ 23.6468

Таким образом, точки экстремума функции f(x) = x^3 - 16x + 2 находятся приблизительно в точках (2.3094, -21.6468) и (-2.3094, 23.6468), где функция достигает локального минимума и максимума соответственно.