Question

Определить области возрастания/убывания 1) f(x)=9+4x³-x⁴ 2) f(x)= 2x-9 ——— x-5 70 баллов)

Answer 1

1) f(x)=9+4x³-x⁴

f'(x) = 12x^2 -4x^3

4x^2(3-x) = 0

4x^2 = 0     x2 = 3

x1 = 0

Функция возрастает при x ∈ (-∞; 3]

Функция убывает при x ∈ [3; +∞)

2) f(x)= 2x-9

f'(x) = 2 > 0

Функция возрастает при x ∈ (-∞; +∞)

Answer 2

Для определения областей возрастания и убывания функций нужно найти производные этих функций и проанализировать знаки производных.

1. Рассмотрим функцию \( f(x) = 9 + 4x^3 - x^4 \):

a. Найдем первую производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 12x^2 - 4x^3 \]

b. Решим уравнение \( f'(x) = 0 \) для нахождения критических точек: \[ 12x^2 - 4x^3 = 0 \] \[ 4x^2(3 - x) = 0 \] Отсюда получаем два корня: \( x = 0 \) и \( x = 3 \).

c. Составим таблицу знаков производной:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 0) & (0, 3) & (3, +\infty) \\ \hline f'(x) & - & + & - \\ \hline \end{array} \]

d. Теперь можем сделать выводы: - В интервале \((- \infty, 0)\) производная отрицательна, следовательно, функция убывает. - В интервале \((0, 3)\) производная положительна, следовательно, функция возрастает. - В интервале \((3, +\infty)\) производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

2. Рассмотрим функцию \( f(x) = 2x - 9 + \frac{70}{x-5} \):

a. Найдем первую производную \( f'(x) \): \[ f'(x) = 2 + \frac{70}{(x-5)^2} \]

b. Найдем значения \( x \), при которых производная равна нулю или не существует. В данном случае, производная существует при любом \( x \), так как знаменатель не может быть равен нулю.

c. Составим таблицу знаков производной:

\[ \begin{array}{|c|c|c|c|} \hline x & (-\infty, 5) & (5, +\infty) \\ \hline f'(x) & + & + \\ \hline \end{array} \]

d. Можем сделать вывод, что функция \( f(x) \) возрастает на всем интервале действительных чисел, за исключением точки \( x = 5 \), где она не определена.