Question

Найдите сумму степени и свободного члена многочлена (4x⁶ +5x³ -1)¹³ (4x²+3) ³​

Answer 1

4х^78+5х^39-1^13 4х^6+3^3

Answer 2

Чтобы найти сумму степени и свободного члена многочлена, нужно раскрыть скобки и сложить подобные члены. Давайте начнем с первого многочлена:

\((4x^6 + 5x^3 - 1)^{13}\)

Для раскрытия этой степени, мы можем воспользоваться биномиальной теоремой. Она гласит, что для выражения \((a + b)^n\) можно разложить его следующим образом:

\((a + b)^n = \sum_{k=0}^{n} \binom{n}{k} a^{n-k} b^k\)

где \(\binom{n}{k}\) - биномиальный коэффициент, равный \(\frac{n!}{k!(n-k)!}\).

Применяя эту формулу к нашему случаю, получим:

\((4x^6 + 5x^3 - 1)^{13} = \sum_{k=0}^{13} \binom{13}{k} (4x^6)^{13-k} (5x^3)^k (-1)^{13-k}\)

Теперь у нас есть разложение степени 13-го многочлена. Давайте упростим его:

\(\sum_{k=0}^{13} \binom{13}{k} 4^{13-k} x^{6(13-k)} 5^k x^{3k} (-1)^{13-k}\)

Собрав подобные члены, получаем:

\(\sum_{k=0}^{13} \binom{13}{k} 4^{13-k} 5^k (-1)^{13-k} x^{78-6k+3k}\)

\(\sum_{k=0}^{13} \binom{13}{k} 4^{13-k} 5^k (-1)^{13-k} x^{78-3k}\)

Теперь у нас есть раскрытая степень первого многочлена. Далее, добавим второй многочлен \((4x^2 + 3)^3\):

\((4x^2 + 3)^3 = \binom{3}{0} (4x^2)^3 3^0 + \binom{3}{1} (4x^2)^2 3^1 + \binom{3}{2} (4x^2)^1 3^2 + \binom{3}{3} (4x^2)^0 3^3\)

Упрощая, получаем:

\(1 \cdot 64x^6 + 3 \cdot 16x^4 \cdot 3 + 3 \cdot 4x^2 \cdot 9 + 1 \cdot 9\)

\(64x^6 + 144x^4 + 108x^2 + 9\)

Теперь сложим результаты двух раскрытий:

\(\sum_{k=0}^{13} \binom{13}{k} 4^{13-k} 5^k (-1)^{13-k} x^{78-3k} + 64x^6 + 144x^4 + 108x^2 + 9\)

Это и есть итоговый многочлен.