Question

Если x^4-5x^2-5=0, найти 1/(x^4)+1/(x^2)

Answer 1

Ответ:

$\dfrac{1}{x^{4} }+\dfrac{1}{x^{2} } =0,2$

Объяснение:

Если   $x^{4} -5x^{2} -5=0$ ,

найти $\dfrac{1}{x^{4} } +\dfrac{1}{x^{2} }$

Решим биквадратное уравнение

$x^{4} -5x^{2} -5=0$

Пусть     $x^{2} =t,t\geq 0$  , тогда уравнение принимает вид:

$t^{2} -5t-5=0;\\D=(-5)^{2} -4\cdot1\cdot(-5)=25+20=45 =9\cdot5=(3\sqrt{5} )^{2} ;\\\\t{_1}= \dfrac{5-3\sqrt{5} }{2} ;\\\\t{_2}= \dfrac{5+3\sqrt{5} }{2}$

Условию $t\geq 0$  удовлетворяет

$t{_2}= \dfrac{5+3\sqrt{5} }{2}$

Тогда

$x^{2} = \dfrac{5+3\sqrt{5} }{2};$

Найдем квадрат

$x^{4} =\left (\dfrac{5+3\sqrt{5} }{2}\right)^{2}= \dfrac{(5+3\sqrt{5} )}{4} ;$

Найдем обратные выражения

$\dfrac{1}{x^{2} } =\dfrac{2}{5+3\sqrt{5} } ;$

$\dfrac{1}{x^{4} } =\dfrac{4}{(5+3\sqrt{5} )^{2} }$

$\dfrac{1}{x^{4} }+\dfrac{1}{x^{2} } =\dfrac{4}{(5+3\sqrt{5})^{2} } =\dfrac{2}{5+3\sqrt{5} } =\dfrac{4+2(5+3\sqrt{5} )}{(5+3\sqrt{5})^{2} } =\dfrac{4+10+6\sqrt{5} }{25+30\sqrt{5} +45} =\\\\=\dfrac{14+6\sqrt{5} }{70+30\sqrt{5} } =\dfrac{14+6\sqrt{5} }{5(14+6\sqrt{5}) } =\dfrac{1}{5} =0,2$

Answer 2

Для начала, найдем корни заданного уравнения.

Обозначим x^2 = t. Тогда уравнение примет вид t^2 - 5t - 5 = 0.

Используя квадратное уравнение, находим корни:

t1,2 = (5 ± √(5^2 - 4*(-5)))/2 = (5 ± √(25 + 20))/2 = (5 ± √45)/2.

Теперь восстановим значения x:

x1,2 = ±√t1,2 = ±√((5 ± √45)/2).

Теперь найдем выражение 1/(x^4) + 1/(x^2):

1/(x^4) + 1/(x^2) = (x^2 + x^4)/(x^2 * x^4) = (x^2 + x^4)/(x^6).

Заметим, что (x^2 + x^4) = x^2 * (1 + x^2). Таким образом, получаем:

1/(x^4) + 1/(x^2) = (x^2 * (1 + x^2))/(x^6) = (1 + x^2)/(x^4).

Теперь подставим найденные значения x:

1/(x^4) + 1/(x^2) = (1 + (±√((5 ± √45)/2))^2)/((±√((5 ± √45)/2))^4).

Таким образом, найдены два возможных значения выражения 1/(x^4) + 1/(x^2), соответствующие двум корням x1 и x2, полученным ранее.