Question

Решите неравенство 2cos²x-3cosx+1<0 ЗНАК < А НЕ = !!!!

Answer 1

Решение на прикреплённой картинке

Answer 2

Давайте решим неравенство \(2\cos^2x - 3\cos x + 1 < 0\).

Представим его в виде квадратного трёхчлена относительно \(\cos x\):

\[2\cos^2x - 3\cos x + 1 = (2\cos x - 1)(\cos x - 1)\]

Теперь решим неравенство \((2\cos x - 1)(\cos x - 1) < 0\). Для этого рассмотрим значения \(\cos x\), при которых каждый из множителей равен нулю, а также интервалы между этими точками.

1. \(2\cos x - 1 = 0\). Решение: \(\cos x = \frac{1}{2}\). Это происходит, например, при \(x = \frac{\pi}{3} + 2\pi n\) и \(x = \frac{5\pi}{3} + 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

2. \(\cos x - 1 = 0\). Решение: \(\cos x = 1\). Это происходит, например, при \(x = 2\pi n\), где \(n\) - целое число.

Теперь посмотрим на знаки множителей в интервалах между найденными точками:

- В интервале \((-\infty, \frac{\pi}{3} + 2\pi n)\): оба множителя положительны. - В интервале \((\frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n)\): первый множитель отрицателен, второй положителен. - В интервале \((2\pi n, \frac{5\pi}{3} + 2\pi n)\): оба множителя отрицательны. - В интервале \((\frac{5\pi}{3} + 2\pi n, +\infty)\): первый множитель положителен, второй отрицателен.

Теперь объединим эти результаты:

\[ (2\cos x - 1)(\cos x - 1) < 0 \text{ при } x \in \left( \frac{\pi}{3} + 2\pi n, 2\pi n \right) \cup \left( \frac{5\pi}{3} + 2\pi n, +\infty \right) \]

где \(n\) - целое число.