Question

Сумма второго и третьего членов геометрической прогрессии равна 60, а разность четвертого и второго членов равна 120. Найдите сумму пяти первых членов этой прогрессии.

Answer 1

Ответ:

605

Объяснение:

Формула n-го члена bₙ=b₁qⁿ⁻¹

Система уравнений:

b₂+b₃=60

b₄-b₂=120

1) b₂+b₃=60

b₁q+b₁q²=60

b₁q(1+q)=60

2) b₄-b₂=120

b₁q³-b₁q=120

b₁q(q²-1)=120

(b₁q(1+q))/(b₁q(q²-1))=60/120

(1+q)/((q-1)(q+1))=1/2

2=q-1

q=2+1

q=3

b₁·3(1+3)=60

b₁=60/12

b₁=5

Сумма n первых членов Sₙ=(b₁(qⁿ-1))/(q-1)

S₅=(b₁(3⁵-1))/(3-1)=(5(243-1))/2=5·121=605

Answer 2

Пусть второй член геометрической прогрессии равен b, а её знаменатель q.

Тогда третий член будет равен b*q, а четвертый - b*q*q = b*q^2.

Из условия задачи получаем систему уравнений:

b + b*q = 60, b*q^2 - b = 120.

Решим эту систему методом подстановки или методом Крамера.

Из первого уравнения выразим b через q: b = 60/(1+q).

Подставим это выражение во второе уравнение:

(60/(1+q)) * q^2 - 60/(1+q) = 120, 60q - 60(1+q) = 120(1+q), 60q - 60 - 60q = 120 + 120q, -60 = 120 + 120q, 120q = -180, q = -3/2.

Теперь найдем значение b:

b = 60/(1+(-3/2)) = 60/(-1/2) = -120.

Теперь, когда мы нашли значение b и q, мы можем найти первый член геометрической прогрессии a:

a = b/q = (-120)/(-3/2) = 80.

Теперь мы знаем первый член геометрической прогрессии (a=80) и её знаменатель (q=-3/2).

Сумма первых n членов геометрической прогрессии равна: S_n = a*(1-q^n)/(1-q).

Для нашей прогрессии: S_5 = 80*(1-(-3/2)^5)/(1-(-3/2)) = 80*(1-243/32)/(5/2) = 80*(32/32-243/32)/(5/2) = 80*(-211/32)/(5/2) = -4220/32 = -132.5.

Таким образом, сумма пяти первых членов этой геометрической прогрессии равна -132.5.