Question

4. При каких значениях a площадь фигуры, ограниченной линиями y=x³, y=0, x=a, равно 64. А) 4 Б) 8 В) 16 Г) 32 5. Для функции f(x)=2x-4 на промежутке (–∞; +∞) найти первообразную, график которой проходит через точку M (1; 3) А) F(x)=x²-4x+5 Б) F(x)=x²-4x+6 В) F(x)=2x²-4x-6 Г) F(x)=2x-4+6 6. Найти общий вид первообразных для функции f(x)=9x²-4x-1 на промежутке (–∞; +∞) А) F(x)=18x³-4x²+C Б) F(x)=3x³+2x²-x+C В) F(x)=18x-4+C Г) F(x)=3x³-2x²-x+C

Answer 1

Ответ:

$4)\ \ y=x^3\ ,\ y=0\ ,\ x=a\ ,\ \ S=64$

Прямая х=а - прямая, параллельная оси ОУ , и проходящая через точки с абсциссой х=а . Тогда площадь криволинейной трапеции, заданной в условии, вычисляется с помощью определённого интеграла. ( Криволинейной трапецией называется область, ограниченная линиями y=f(x) , y=0 , x=m , x=n , одно из значений m либо n может равняться 0 .)  

Кубическая парабола у=х³ и ось ОХ пересекаются при х=0 .

$\displaystyle S=\int\limits^{a}_0\, x^3\, dx=\frac{x^4}{4}\, \Big|_0^{a}=\frac{1}{4}\cdot (a^4-0)=\dfrac{a^4}{4}\ \ ,\ \ \ \dfrac{a^4}{4}=64\ \ ,\ \ a^4=256\ \ ,\ \ a=\pm 4$

Ответ:  площадь заданной фигуры , ограниченной указанными линиями, равна 64, если значение а=4 либо а= -4 . В предложенном варианте  ответа А)  указано только одно значение а=4 , но это возможно лишь в случае, когда в условии оговорили бы, что  нужно указать только положительное значение  а .

$5)\ \ f(x)=2x-4\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;+\infty )\ \ ,\ \ M(1;3)\\\\F'(x)=f(x)\\\\\displaystyle F(x)=\int (2x-4)\, dx=\frac{2x^2}{2}-4x+C=x^2-4x+C$

Так как график первообразной должен пройти через точку М(1;3) , то подставим координаты этой точки в первообразную, найдём значение константы C .

$F(1)=3\ \ \Rightarrow \ \ F(1)=1^2-4\cdot 1+C\ \ ,\ \ -3+C=3\ \ ,\ \ C=6$

Ответ: Б)  $F(x)=x^2-4x+6$  .

$\displaystyle 6)\ \ f(x)=9x^2-4x-1\ \ ,\ \ x\in (-\infty ;+\infty )\\\\F'(x)=f(x)\\\\\F(x)=\int (9x^2-4x-1)\, dx=\frac{9x^3}{3}-\frac{4x^2}{2}-x+C=3x^3-2x^2-x+C$

Ответ: Г) .

Answer 2

Давайте рассмотрим оба вопроса по очереди.

Вопрос 4:

У нас есть кривые \(y = x^3\), \(y = 0\) и \(x = a\), ограничивающие фигуру. Нам нужно найти значение \(a\), при котором площадь этой фигуры равна 64.

Первым шагом найдем точки пересечения кривых \(y = x^3\) и \(y = 0\), то есть значения \(x\), при которых \(x^3 = 0\). Очевидно, что это точка \(x = 0\).

Теперь, чтобы найти \(a\), мы можем использовать интеграл:

\[S = \int_{0}^{a} (x^3 - 0) \,dx = \frac{1}{4}a^4\]

Так как площадь равна 64, у нас есть уравнение:

\[\frac{1}{4}a^4 = 64\]

Решив это уравнение, мы получим \(a = 4\) (возможный ответ А).

Вопрос 5:

Нам нужно найти первообразную для функции \(f(x) = 2x - 4\), проходящую через точку \(M(1, 3)\).

Интегрируем функцию \(f(x)\):

\[F(x) = \int (2x - 4) \,dx = x^2 - 4x + C\]

Теперь, чтобы найти константу \(C\), подставим координаты точки \(M(1, 3)\):

\[3 = 1^2 - 4 \cdot 1 + C\]

Решая это уравнение, получаем \(C = 6\).

Таким образом, первообразная, проходящая через точку \(M(1, 3)\), равна:

\[F(x) = x^2 - 4x + 6\]

Ответ Б.

Вопрос 6:

Нам нужно найти общий вид первообразных для функции \(f(x) = 9x^2 - 4x - 1\).

Интегрируем функцию \(f(x)\):

\[F(x) = \int (9x^2 - 4x - 1) \,dx = 3x^3 - 2x^2 - x + C\]

Где \(C\) - произвольная константа. Таким образом, общий вид первообразных для функции \(f(x)\) на промежутке \((-\infty, +\infty)\):

\[F(x) = 3x^3 - 2x^2 - x + C\]

Ответ В.