Question

(7n+10)^2-(n-2)^2 Докажите что при любом натуральном n значение выражения делится нацело на 8

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

воспользуемся формулой разноси квадратов

x² - y² = (x - y)(x + y)

(7n+10)^2-(n-2)^2=(7n+10-n+2)(7n+10+n-2)=

=(6n+12)(8n+8)=6(n+2)·8(n+1)

один из множителей равен 8

произведение делится на 8

доказано

Answer 2

Давайте развернем выражение \((7n + 10)^2 - (n - 2)^2\) и посмотрим, можно ли доказать, что оно делится нацело на 8 при любом натуральном \(n\).

\[(7n + 10)^2 - (n - 2)^2\]

Используем разность квадратов:

\[(49n^2 + 140n + 100) - (n^2 - 4n + 4)\]

Раскроем скобки и объединим подобные члены:

\[49n^2 + 140n + 100 - n^2 + 4n - 4\]

\[48n^2 + 144n + 96\]

Теперь вынесем общий множитель из всех членов:

\[48(n^2 + 3n + 2)\]

Таким образом, мы получаем, что \((7n + 10)^2 - (n - 2)^2\) равно \(48(n^2 + 3n + 2)\).

Теперь докажем, что это выражение делится нацело на 8 при любом натуральном \(n\). Для этого достаточно показать, что \(n^2 + 3n + 2\) делится нацело на 8.

Рассмотрим три случая для \(n\):

1. Если \(n\) четное (\(n = 2k\)), то \(n^2 + 3n + 2 = (2k)^2 + 3(2k) + 2 = 4k^2 + 6k + 2\). Мы видим, что член \(4k^2\) делится на 8, и остальные члены также делятся на 2. Таким образом, выражение делится на 8 при четном \(n\).

2. Если \(n\) нечетное (\(n = 2k + 1\)), то \(n^2 + 3n + 2 = (2k + 1)^2 + 3(2k + 1) + 2 = 4k^2 + 10k + 6\). Здесь член \(4k^2\) также делится на 8, и остальные члены также делятся на 2. Таким образом, выражение делится на 8 при нечетном \(n\).

Таким образом, в обоих случаях \(n^2 + 3n + 2\) делится нацело на 8. Таким образом, исходное выражение \((7n + 10)^2 - (n - 2)^2\) делится нацело на 8 при любом натуральном \(n\).