Question

Y=x^3+2x^2+x 1. Найти точки пересечения графика с осями координат 2. Найти промежутки экстремумы функции и монотонности 3. Найти промежутки вогнутости, выпуклости, точки перегиба

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!!

Answer 2

1. Для нахождения точек пересечения графика с осями координат нужно приравнять функцию к нулю и решить уравнение.

y = x^3 + 2x^2 + x + 1

Для точки пересечения с осью OY (y-осью) подставим x = 0:

0 = 0^3 + 2*0^2 + 0 + 1 0 = 1

Таким образом, график не пересекает ось OY передвигаясь снизу вверх.

Для точек пересечения с осью OX (x-осью) подставим y = 0:

0 = x^3 + 2x^2 + x + 1

Для решения этого уравнения потребуется использовать численные или графические методы.

2. Чтобы найти промежутки экстремумов функции, нужно найти ее производную и приравнять ее к нулю.

y = x^3 + 2x^2 + x + 1

y' = 3x^2 + 4x + 1

3x^2 + 4x + 1 = 0

Для решения этого квадратного уравнения можно воспользоваться факторизацией или квадратным трехчленом.

x = (-4 ± √(4^2 - 4 * 3 * 1)) / (2 * 3) x = (-4 ± √(16 - 12)) / 6 x = (-4 ± √4) / 6 x = (-4 ± 2) / 6

Таким образом, получаем две точки экстремума: x = -2/3 и x = -1/3.

Для определения монотонности функции проведем знаковый анализ производной в интервалах между найденными точками экстремума и вне этих интервалов:

-∞ < x < -2/3: В этом интервале производная положительна, следовательно, функция возрастает.

-2/3 < x < -1/3: В этом интервале производная отрицательна, следовательно, функция убывает.

-1/3 < x < +∞: В этом интервале производная снова положительна, следовательно, функция возрастает.

Таким образом, функция монотонно возрастает на интервалах (-∞, -2/3) и (-1/3, +∞), и монотонно убывает на интервале (-2/3, -1/3).

3. Чтобы найти промежутки вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба функции, нужно найти вторую производную и анализировать ее знаки.

y' = 3x^2 + 4x + 1

y'' = 6x + 4

Для определения знаков второй производной решим уравнение y'' = 0:

6x + 4 = 0 6x = -4 x = -4/6 x = -2/3

Таким образом, получаем точку перегиба: x = -2/3.

Теперь проанализируем знаки второй производной в интервалах между точками экстремума и вне этих интервалов:

-∞ < x < -2/3: Здесь вторая производная положительна, следовательно, функция выпукла вверх.

-2/3 < x < +∞: Здесь вторая производная также положительна, следовательно, функция выпукла вверх.

Таким образом, функция является выпуклой вверх на всей числовой прямой.

Итак, заданная функция имеет следующие характеристики:

- не пересекает ось OY, - точки пересечения с осью OX могут быть найдены численными или графическими методами, - имеет две точки экстремума: x = -2/3 и x = -1/3, - монотонно возрастает на интервалах (-∞, -2/3) и (-1/3, +∞), и монотонно убывает на интервале (-2/3, -1/3), - выпукла вверх на всей числовой прямой, - имеет точку перегиба в x = -2/3.