Question

(an) - Геометрическая прогрессия. Найдите её первый член, если a5=2,1 и a7=1,05​

Answer 1

a7 = a5 * b^2

b^2 = a7 / a5 = 1.05 / 2.1 = 0.5

a1 = a5 / b^4 = 2.1 / 0.25 = 8.4

Answer 2

Для нахождения первого члена геометрической прогрессии (ГП) по заданным значениям её пятого и седьмого членов, нужно воспользоваться формулой общего члена геометрической прогрессии. Общая формула ГП выглядит следующим образом:

\[a_n = a_1 \cdot r^{(n-1)}\]

где: - \(a_n\) - \(n\)-й член прогрессии, - \(a_1\) - первый член прогрессии, - \(r\) - знаменатель прогрессии, - \(n\) - номер члена прогрессии.

В данном случае известны значения \(a_5\) и \(a_7\). Мы можем использовать их, чтобы составить систему уравнений и найти значения первого члена (\(a_1\)) и знаменателя (\(r\)):

1. Для \(n = 5\): \(a_5 = a_1 \cdot r^{(5-1)}\) 2. Для \(n = 7\): \(a_7 = a_1 \cdot r^{(7-1)}\)

Подставим известные значения:

1. \(2.1 = a_1 \cdot r^4\) 2. \(1.05 = a_1 \cdot r^6\)

Теперь разделим уравнения, чтобы избавиться от переменной \(a_1\):

\[ \frac{2.1}{1.05} = \frac{a_1 \cdot r^4}{a_1 \cdot r^6} \]

Упростим:

\[ \frac{2.1}{1.05} = \frac{1}{r^2} \]

Теперь найдем значение \(r\):

\[ r^2 = \frac{1.05}{2.1} = \frac{1}{2} \]

\[ r = \sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2} \]

Теперь, зная значение \(r\), можем подставить его в одно из исходных уравнений, например, в первое:

\[ 2.1 = a_1 \cdot \left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right)^4 \]

Упростим:

\[ 2.1 = a_1 \cdot \frac{1}{4} \]

Теперь найдем значение \(a_1\):

\[ a_1 = 2.1 \cdot 4 = 8.4 \]

Таким образом, первый член геометрической прогрессии равен \(8.4\).