Question

Знайдіть точки екстремуму та екстремуми функції f(x) = х2-3хх-4.

Answer 1

Для пошуку точок екстремуму функції f(x) = x^2 - 3х - 4 спочатку потрібно знайти похідну цієї функції і прирівняти її до нуля:

f'(x) = 2x - 3 = 0

Тепер знайдемо значення x, при яких похідна рівна нулю:

2x - 3 = 0 2x = 3 x = 3/2

Отримали, що при x = 3/2 похідна функції рівна нулю.

Далі треба визначити, чи є це значення мінімумом чи максимумом. Для цього можна аналізувати знак похідної функції.

f''(x) = 2

Отримали, що похідна другого порядку постійно додатня, тобто функція f(x) = x^2 - 3х - 4 є випуклою вниз. Це означає, що при x = 3/2 значення функції буде мінімальним.

Давайте знайдемо значення функції f(x) при x = 3/2 для підтвердження:

f(3/2) = (3/2)^2 - 3 * (3/2) - 4 = 9/4 - 9/2 - 4 = 9/4 - 18/4 - 16/4 = -25/4

Таким чином, отримали, що функція досягає мінімального значення -25/4 при x = 3/2.

Таким чином, єдиним екстремумом функції f(x) = x^2 - 3х - 4 є мінімум, який досягається при x = 3/2, а його значення становить -25/4.