Question

Решить уравнение с параметром При каких а уравнение имеет ровно три корня

Answer 1

ОДЗ:  $x^2+ax+1 \geq 0$

Умножим обе части уравнения на $2$
$2 \sqrt{x^2+2x^2+2ax+1} =2x^2+2ax+1+1$

Пусть $2x^2+2ax+1=t$, тогда будем иметь
$2 \sqrt{x^2+t} =t+1$

Возведем обе части в квадрат:
$4(x^2+t)=(t+1)^2\\ 4x^2+4t=t^2+2t+1\\ 4x^2=(t-1)^2\\ (2x)^2-(t-1)^2=0\\ (2x-t+1)(2x+t-1)=0$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю.

$2x-t+1=0$          и          $2x+t-1=0$
Обратная замена

$2x-(2x^2+2ax+1)+1=0\\ 2x-2x^2-2ax=0\\ 2x(1-x-a)=0\\ x_1=0\\ x_2=1-a$

$2x+t-1=0\\ 2x+2x^2+2ax+1-=0\\ 2x(1+x+a)=0\\ x_3=-1-a$


Подставим: $x=1-a$ и $x=-1-a$ в неравенство$x^2+ax+1 \geq 0$

При $x=1-a$, решение будет $a \in (-\infty;2]$
При $x=-1-a$, решение будет $[-2;+\infty)$

Общее решение $a \in [-2;2]$

Поскольку $x=0$, то при $a = \pm 1$ уравнение имеет 2 корня

При $a \in [-2;-1)\cup(-1;1)\cup(1;2].$ уравнение имеет 3 корня

Answer 2

Конечно, я могу помочь с этим. Давайте рассмотрим уравнение вида \(ax^2 + bx + c = 0\), где \(a\), \(b\) и \(c\) - коэффициенты уравнения, а \(x\) - переменная. Мы хотим найти значения параметра \(a\), при которых уравнение имеет ровно три корня.

Уравнение с параметром

Уравнение имеет ровно три корня, если у него есть два одинаковых корня и один уникальный корень. Поэтому, чтобы найти значения параметра \(a\), при которых это происходит, мы можем использовать дискриминант.

Дискриминант

Дискриминант уравнения \(ax^2 + bx + c = 0\) вычисляется по формуле: \(D = b^2 - 4ac\).

Условие для трех корней

Условие для того, чтобы уравнение имело ровно три корня, заключается в том, что дискриминант должен быть больше нуля, а коэффициент \(a\) должен быть отличен от нуля.

Решение

Таким образом, для того, чтобы уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) имело ровно три корня, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись следующие условия: 1. \(a \neq 0\) (коэффициент \(a\) не равен нулю) 2. \(D > 0\) (дискриминант больше нуля)

Вывод

Таким образом, уравнение \(ax^2 + bx + c = 0\) будет иметь ровно три корня при значениях параметра \(a\), для которых выполняются условия \(a \neq 0\) и \(D > 0\), где \(D = b^2 - 4ac\).