Question

На графіку функції у=(x+2)/(x+7) знайдіть точки, у яких дотична паралельна прямій у=2х-10.

Answer 1

Щоб знайти точки, у яких дотична паралельна прямій у=2х-10, потрібно врахувати, що дотична до кривої у=(x+2)/(x+7) має такий же нахил, як і пряма у=2х-10. Нахил прямої визначається її похідною. Таким чином, ми шукаємо точки, де похідна функції у=(x+2)/(x+7) рівна нахилу прямої у=2х-10.

Спочатку знайдемо похідну функції у=(x+2)/(x+7). Використаємо правило диференціювання частки:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x+2}{x+7} \right) \]

Для обчислення похідної використовуємо правило ланцюгового правила (chain rule) та правило диференціювання частки:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x+2}{x+7} \right) = \frac{(x+7) \cdot (1) - (x+2) \cdot (1)}{(x+7)^2} \]

Спростимо чисельник:

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x+2}{x+7} \right) = \frac{x+7 - x-2}{(x+7)^2} \]

\[ \frac{d}{dx} \left( \frac{x+2}{x+7} \right) = \frac{5}{(x+7)^2} \]

Це є значення похідної функції. Тепер встановимо рівність цього виразу нахилу прямої у=2х-10:

\[ \frac{5}{(x+7)^2} = 2 \]

Розв'яжемо це рівняння для x:

\[ 5 = 2 \cdot (x+7)^2 \]

\[ (x+7)^2 = \frac{5}{2} \]

\[ x+7 = \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \]

\[ x = -7 \pm \sqrt{\frac{5}{2}} \]

Таким чином, маємо дві точки, у яких дотична до графіку функції у=(x+2)/(x+7) паралельна прямій у=2х-10:

\[ x_1 = -7 + \sqrt{\frac{5}{2}} \] \[ x_2 = -7 - \sqrt{\frac{5}{2}} \]

Тепер підставимо ці значення x назад у вихідну функцію, щоб знайти відповідні значення y.