Question

1. (bn) – геометрическая прогрессия. Первый член равен 7,а знаменатель –(-2). Найдите первые шесть членов прогрессии. 2. В геометрической прогрессии (bn ) известно, что q=2, а S3=635. a) Найдите первый член и шестой член этой прогрессии. b) Найдите сумму первых пяти членов геометрической прогрессии. 3. Найдите сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии: 3;-1; 1/3;…..

Answer 1

Ответ:

$1)\ \ \{b_{n}\}\ \ ,\ \ b_1=7\ ,\ \ q=-2\\\\b_2=b_1q=7\cdot (-2)=-14\ \ \ ,\ \ \ b_3=b_2q=-14\cdot (-2)=28\ \ ,\\\\b_4=b_3q=28\cdot (-2)=-84\ \ \ ,\ \ \ b_5=b_4q=-84\cdot (-2)=168\ \ ,\\\\b_6=b_5q=168\cdot (-2)=-336$

$2)\ \ q=2\ ,\ \ S_3=635\\\\a)\ \ S_3=\dfrac{b_1(1-q^3)}{1-q}\\\\\\\dfrac{b_1(1-2^3)}{1-2}=635\ \ ,\ \ \ \dfrac{-7b_1}{-1}=635\ \ ,\ \ \ \ b_1=\dfrac{635}{7}=90\dfrac{5}{7}\\\\\\b_6=b_1\cdot q^5=\dfrac{635}{7}\cdot 2^5=\dfrac{635\cdot 32}{7}=\dfrac{20320}{7}=2902\dfrac{6}{7}\\\\\\b)\ \ S_5=\dfrac{b_1(1-q^5)}{1-q}=\dfrac{635(1-32)}{1-2}=\dfrac{-635\cdot 31}{-1}=19685$

$3)\ \ \{b_{n}\}:\ \ 3\ ;\ -1\ ;\ \dfrac{1}{3}\ ;\ ...\\\\\\q=\dfrac{b_2}{b_1}=\dfrac{-1}{3}=-\dfrac{1}{3}\ \ ,\ \qquad (\ proverim:\ q=\dfrac{b_3}{b_2}=\dfrac{1/3}{-1}=-\dfrac{1}{3}\ )\\\\\\S=\dfrac{b_1}{1-q}=\dfrac{3}{1-(-\frac{1}{3})}=\dfrac{3}{1+\frac{1}{3}}=\dfrac{3}{\frac{4}{3}}=\dfrac{9}{4}=2,25$

Answer 2

1. Первый член геометрической прогрессии равен 7, а знаменатель равен -2. Чтобы найти следующие члены прогрессии, нужно последовательно домножать предыдущий член на знаменатель.

Первый член: a1 = 7 Второй член: a2 = a1 * q = 7 * (-2) = -14 Третий член: a3 = a2 * q = -14 * (-2) = 28 Четвертый член: a4 = a3 * q = 28 * (-2) = -56 Пятый член: a5 = a4 * q = -56 * (-2) = 112 Шестой член: a6 = a5 * q = 112 * (-2) = -224

Таким образом, первые шесть членов прогрессии равны: 7, -14, 28, -56, 112, -224.

2. В геометрической прогрессии известно, что q = 2 и s3 = 635. a) Чтобы найти первый член прогрессии, нужно использовать формулу: a1 = s1/q^(n-1), где s1 - сумма первых n членов прогрессии. В данном случае нам известно, что s3 = 635, поэтому: 635 = a1 + a1 * q + a1 * q^2 635 = a1 (1 + 2 + 4) 635 = 7 a1 a1 = 635/7 = 91

Чтобы найти шестой член прогрессии, нужно использовать формулу: an = a1 * q^(n-1), где n = 6. a6 = 91 * 2^(6-1) = 1456

Таким образом, первый член прогрессии равен 91, а шестой член равен 1456.

b) Чтобы найти сумму первых пяти членов геометрической прогрессии, можно воспользоваться формулой: Sn = a1 (1 - q^n)/(1 - q), где Sn - сумма первых n членов прогрессии. S5 = 91 (1 - 2^5)/(1 - 2) = 91 (1 - 32)/(-1) = 91 * -31 = -2821

Таким образом, сумма первых пяти членов геометрической прогрессии равна -2821.

3. Чтобы найти сумму бесконечно убывающей геометрической прогрессии, нужно воспользоваться формулой: Sn = a1/(1 - q), где Sn - сумма бесконечного числа членов прогрессии. В данном случае a1 = 3 и q = -1/3, поэтому: S = 3/(1 - (-1/3)) = 3/(4/3) = 9/4

Таким образом, сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии равна 9/4.